Nootje 48 | Wiskunde is leuk

Bepaal alle drietallen natuurlijke getallen a,b,c waarvoor a.b.c=1989 en a+b+c=89

Antwoord

De oplossing is symmetrisch in a,b en c.
Redeneren we eventjes op c, dan moet c moet een deler zijn van $1989=3^2.13.17$ .
De delers van 1989 zijn: $1,3,9,13,17,39,51,117,153,221,663,1989$ .
Bij een keuze van c moeten we nog het stelsel oplossen:
$\begin{cases}a+b=89-c \\ a.b=\frac{1989}{c}\end{cases}$
Noteer $S=a+b$ en $P=a.b$ , dan zijn a en b oplossingen van de vergelijking
$x^2-Sx+P=0$
$S=89+c$ ; Omdat c oneven is , zal S dus even zijn en moet de discriminant $S^2-4P$ een kwadraat zijn van een even getal ( anders zijn a en b geen natuurlijke getallen).
Voor $c=1$ is $S=90$ en $P=1989$ . In dat geval is de discriminant gelijk aan 144 en vinden we dat $a=39$ en $b=51$ .
Voor $c=1$ krijgen we dus als oplossingen de drietallen $(39,51,1)$ en $(51,39,1)$ .
Door de symmetrie zijn de andere oplossingen dan $(1,39,51),(1,51,39),(39,1,51),(51,1,39)$ .