Nootje 4 | Wiskunde is leuk

De som van twee positieve gehele getallen getallen is 2019. Bewijs dat hun product nooit deelbaar is door 2019.

Antwoord

Veronderstel dat het product van de getallen toch deelbaar is door 2019, dan is het product gelijk aan 2019.n
De twee getallen zijn dan oplossingen van de vierkantsvergelijking
$x^2-2019x+2019n=0$
De discriminant D moet dus een volkomen kwadraat zijn. Nu is $D=2019^2-4\times 2019n=3\times 673(2019-4n)$ . Dit is een volkomen kwadraat als $2019-4n=3 \times 673 k^2$ . Maar dan is $2019-4n=2019k^2\geq 2019$ en dit is onmogelijk.