Spring naar de primaire inhoud

Wiskunde is leuk

Zoeken

Hoofdmenu

Artikels
Weetjes
Problem Solving
Olympiades
Theorie
Geschiedenis
Raadsels/spelen
Kleine nootjes
Python
WisKunst
Sangaku’s
Contact
Ik en mijn onderzoek
Wereldgeschiedenis
Wandelingen

Bericht navigatie

← Vorige Volgende →

Nootje 32

Geplaatst op 23 maart 2023 door admin

Antwoord

Neem de veelterm V(x) met a,b en c als wortels.
Dan is $V(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ .
Uitgewerkt geeft dit: $V(x)=x^3-S_1x^2+S_2x-S_3$ . Hierbij is $S_1=a+b+c=1$ , $S_2=ab+bc+ac=2$ en $S_3=abc=3$ .
Bijgevolg is $V(x)=x^3-x^2+2x-3$ met $V(a)=V(b)=V(c)=0$ .
Hieruit volgt dat $a^3=a^2-2a+3$ . En dus is $a^4=a^3-2a^2+3a=-a^2+a+3$ . Er zijn gelijkaardige formules voor b en c.
Nu is $a^4+b^4+c^4=-(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)+9=-((a+b+c)^2-2(ab+ac+bc))+10=13$ .

Dit bericht werd geplaatst in Kleine nootjes en getagd wortels van een veelterm door admin . Bookmark de permalink .

Ondersteund door WordPress