Nootje 32

Geplaatst op door


Antwoord

  • Neem de veelterm V(x) met a,b en c als wortels. 
  • Dan is V(x)=(x-a)(x-b)(x-c).
  • Uitgewerkt geeft dit: V(x)=x^3-S_1x^2+S_2x-S_3. Hierbij is S_1=a+b+c=1, S_2=ab+bc+ac=2 en S_3=abc=3.
  • Bijgevolg is V(x)=x^3-x^2+2x-3 met V(a)=V(b)=V(c)=0.
  • Hieruit volgt dat a^3=a^2-2a+3. En dus is a^4=a^3-2a^2+3a=-a^2+a+3. Er zijn gelijkaardige formules voor b en c.
  • Nu is a^4+b^4+c^4=-(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)+9=-((a+b+c)^2-2(ab+ac+bc))+10=13.