Nootje 29 | Wiskunde is leuk

Gegeven is een veelterm waarvan de coëfficiënten natuurlijke getallen zijn. Hoe kan je met zo weinig mogelijk evaluaties met natuurlijke getallen( berekenen van een getalwaarde) de coëfficiënten bepalen? Probeer eerst eens als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10.

Spoiler

Noem de veelterm P(x).
Als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10, volstaat 1 evaluatie. Bereken P(10).
Neem een voorbeeld als test: $P(x)=x^3+4x+8$ . Dan is $P(10)=10^3+4*10+8=1048$ . In deze uitkomst kan je de coëfficiënten inderdaad aflezen.
Wat nu als de de bovengrens van 10 niet meer geldig is. Dan hebben we 2 evaluaties nodig.
De eerste evaluatie dient om de bovengrens van de coëfficiënten te bepalen. Bereken P(1). Dan bestaat er een natuurlijk getal k zodat $P(1)<10^k$ . Bijgevolg is elke coëfficiënt kleiner dan $10^k$ .
De tweede evaluatie is dan $P(10^k)$ .
Testje? Neem $P(x)=12x^3+145x+88$ . dan is $P(1)=245<10^3$ . Neem $k=3$ en bereken $P(10^3)$ . Dit geeft 12.000.145.088. Opgedeeld in vakjes van $k=3$ cijfers krijgen we de gevraagde coëfficiënten.