Nog een raadseltje | Wiskunde is leuk

De pastoor geeft zijn parochieassistente een probleempje om op te lossen: “Er zijn drie parochianen waarvan het product van de ouderdommen gelijk is aan 2450. De som van hun ouderdommen is het dubbel van jouw leeftijd.” De assistente zegt: “Ik weet het nog niet.” Dan zegt de pastoor: “De drie parochianen zijn alle drie jonger dan ik.’ “Nu weet ik het,” roept de parochieassistente. Welke zijn de leeftijden van de drie parochianen?

Antwoord

Noem de parochianen a, b en c en de assistente x. We gaan ervan uit dat de leeftijden allemaal natuurlijke getallen zijn.
2450=2*5*5*7*7. We maken een tabel van de mogelijkheden waarvoor abc = 2450 en berekenen tegelijkertijd ook x ( de helft van a + b + c). We gebruiken enkel ‘echte’ leeftijden, dus niet bvb 1225 of zo.
$\begin{array}{c|c|c|c} a&b&c&x\\ \hline \\2&25&49&38\\2&35&35&36\\5&5&98&54\\5&7&70&41\\5&10&49&32\\5&14&35&27\\7&7&50&32\\7&10&35&26\\7&14&25&23 \end{array}$
De assistente weet uiteraard haar eigen leeftijd en omdat ze het antwoord niet kan geven op de haar gestelde vraag, moet haar leeftijd twee of meer keer voorkomen; dit gebeurt enkel bij $(a,b,c,x)=(5,10,49,32)=(7,7,50,32))$ .
Als de leeftijd van de pastoor 51 of meer is, dan blijven bieden mogelijkheden bestaan en zou ze het antwoord dus niet kennen. Als hij jonger is dan 50 voldoen geen van de twee mogelijkheden. Dus is de pastoor 50 jaar en voldoet enkel 5,10 en 49 als leeftijden van de drie parochianen.