Macht van een punt ten opzichte van een cirkel

Om de macht van een punt A ten opzichte van een cirkel, genoteerd als $\mu_A$ , te berekenen neemt men door A een willekeurige rechte die de cirkel in twee punten, P en Q, snijdt en dan is

$$\mu_A=|AP|.|AQ|$

Dit begrip is goed gedefinieerd, want als je een andere snijlijn neemt, bvb door A,N en M, is $\mu_A=|AN|.|AM|$ . Dit volgt uit de gelijkvormigheid van de driehoeken AQN en APM.

Het begrip werd in 1826 ingevoerd door de Zwitserse wiskundige Jakob Steiner( 1796-1863) als maat voor hoe ver een punt zich binnen of buiten een cirkel bevindt. Want als je een rechte door A en het middelpunt O van de cirkel, met straal r, neemt dan vindt je dat

$\mu_A=|AO|^2-r^2$

Een paar opmerkingen:

Opdat beide formules ook zouden gelden voor punten in het inwendige van een cirkel geven we die punten een negatieve macht.
Voor punten op de cirkel is de macht gelijk aan nul.
De macht van een punt buiten de cirkel is ook gelijk aan het kwadraat van de raaklijn vanuit A aan de cirkel.
De meetkundige plaats van de punten met een gegeven macht ten opzichte van een vaste cirkel is een cirkel concentrisch met de gegeven cirkel.
De machtlijn van twee cirkels is de meetkundige plaats van punten die ten opzichte van de twee cirkels gelijke machten hebben. De machtlijn staat loodrecht op de lijn die de middelpunten van de cirkels verbindt.
Voor een punt A gelegen buiten twee cirkels en op de machtlijn ervan geldt dat de raaklijnstukken vanuit P aan de cirkels dezelfde lengte hebben.
Het punt van de machtlijn, gelegen op een gemeenschappelijke raaklijn aan de twee cirkels, is het midden van de twee raakpunten.
Als de cirkels snijden, dan hebben deze snijpunten macht nul ten opzichte van beide cirkels, en verbindt de machtlijn dus deze snijpunten. Evenzo, als de twee cirkels raken, dan is de machtlijn hun gemeenschappelijke raaklijn in dit raakpunt.