Koffiekop kromme | Wiskunde is leuk

We weten dat lichtstralen die invallen op een parabolische spiegel en die evenwijdig zijn met de as, worden weerkaatst door het brandpunt van de parabool. Maar wat gebeurt er als de lichtstralen invallen op een gekromd oppervlak dat cilindrisch is? Dat effect krijg je als de zon op je tas koffie schijnt, zoals je hierboven ziet. Wat je ziet is een brandkromme of kaustiek.

Proberen we dit eens grafisch voor te stellen: teken voldoende lichtstralen ( gele verticale lijnen) en hun weerkaatsingen ( rode lijnen )
Hoe ontstaat die figuur nu? Neem een stukje van de tekening in detail:
Neem een willekeurig verticale rechte. Die snijdt de kaustiek in 1 bepaald punt. In de rechtse tekening zie je ook een aantal van de weerkaatste stralen in de omgeving van dit punt. Die snijden de verticale in een punt dat steeds hoger ligt dan het snijpunt van die verticale met de brandkromme. Het punt op de brandkromme is dus eigenlijk het minimum van de y-waarden van de snijpunten van de weerkaatste stralen met de verticale.

Rekenen nu:

Geef de verticale de vergelijking x = a en veronderstel dat de cirkel straal 1 heeft.
De invallende straal door P(cos t, sin t) wordt weerkaatst door
Q( cos 3t, sin 3t). Dit is duidelijk door gebruik te maken van de gelijkheid van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek en het feit dat invalshoek en brekingshoek gelijk zijn.
De richtingcoëfficiënt van de weerkaatste straal is $\dfrac{\sin 3t-\sin t}{\cos 3t-\cos t}=-\cot 2t$ .
De vergelijking van de weerkaatste straal is dan: $y-\sin t=-\cot 2t(x-\cos t)$ en snijdt de verticale dus in het punt met y-waarde
$y=\sin t -\cot 2t(a-\cos t)$
We zoeken nu naar het minimum van y als t varieert. Uit y’ = 0 volgt na wat rekenwerk dat
$a=\frac{1}{4} \cos 3t +\frac{3}{4} \cos t$
De bijhorende y-waarde is dan $y=\frac{1}{4} \sin 3t +\frac{3}{4} \sin t$ .
De parameter vergelijking van de brandkromme is dan gegeven door $x=\frac{1}{4} \cos 3t +\frac{3}{4} \cos t, y=\frac{1}{4} \sin 3t +\frac{3}{4} \sin t$ .