Goniometrische substituties

Geplaatst op door

We kennen het gebruik van een goniometrische substitutie bij het berekenen van onbepaalde integralen. Maar ze kunnen ook hun nut hebben bij de studie van ongelijkheden. Een voorbeeld:

Als a,b,c,en d positieve reële getallen zijn en

    \[\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{1}{1+c^4}+\frac{1}{1+d^4}=1\]

bewijs dan dat abcd \geq 3.

  • Stel a^2=\tan x, b^2=\tan y,c^2=\tan z en d^2=\tan t
  • Omdat 1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x} wordt de gegeven ongelijkheid: \cos^2x+\cos^2y+\cos^2z+\cos^2t=1
  • We gebruiken nu de ongelijkheid van het rekenkundig en meetkundig gemiddelde: \sin^2x=1-\cos^2x=\cos^2y\cos^2z\cos^2t \geq 3(\cos y.\cos z.\cos t)^{\frac{2}{3}}
  • Analoog \sin^2y\geq 3(\cos x.\cos z.\cos t)^{\frac{2}{3}}.
  • Of \sin^2z\geq 3(\cos x.\cos y.\cos t)^{\frac{2}{3}}.
  • En \sin^2t\geq 3(\cos x.\cos y.\cos z)^{\frac{2}{3}}.
  • Als we nu deze 4 ongelijkheden met elkaar vermenigvuldigen vinden we dat \sin^2x.\sin^2y.\sin^2z.\sin^2t \geq 81 \cos^2x.\cos^2y.\cos^2z.\cos^2t.
  • Hieruit volgt dat \tan^2x.\tan^2y.\tan^2z.\tan^2t \geq 81 of a^4b^4c^4d^4 \geq 81.
  • Omdat a,b,c en d positief zijn volgt hieruit dat abcd \geq 3.