Eisenstein drietallen | Wiskunde is leuk

We noemen een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) een Eisenstein drietal als $a^2-ab+b^2=c^2$ . Zo is (3,8,7) een Eisenstein drietal

De naam komt van George Eisenstein, een leerling van Gauss. Daar waar Pythagorese drietallen corresponderen met een rechthoekige driehoek, komen Eisenstein drietallen overeen met een driehoek met een hoek van 60° waarbij c de zijde is tegenover de hoek van 60°. Want uit de cosinusregel volgt :

$c^2=a^2+b^2-2ab cos 60^\circ=a^2+b^2-ab$

De Pythagorese drietallen konden via de definitie van de norm van een complex geheel getal geconstrueerd worden in $\Mathbb{Z}[i]$ . We proberen iets gelijkaardigs te doen voor de Eisenstein drietallen.

Definieer $\omega$ als de derde machtswortel uit 1: $\omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ .
Omdat $\omega$ voldoet aan de vergelijking $z^3=1$ , zal $\omega^2+\omega+1=0$ .

Vorm dan de verzameling $\mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega : a,b \in \mathbb{Z}\}$ en definieer norm als $N(a+b\omega)=a^2+b^2-ab$ . Je kan bewijzen dat de norm multiplicatief is en dus dat $N(z^2)=(N(z))^2$ .

Om een Eisenstein drietal te vormen ga je dan als volgt te werk: Neem een willekeurig element van de vorm $x+y\omega$ en bereken het kwadraat ervan. Dit is een element van de vorm $a+b\omega$ . Dan zal $(a,b,x^2+y^2-xy)$ een Eisenstein drietal zijn.

Neem bijvoorbeeld $z=3+2\omega$ . Dan is $z^2=9+12\omega+4\omega^2$ of $z^2=9+12\omega-4-4\omega= 5+8\omega$ . Verder is $N(z)=9+4-6=7$ . Bijgevolg is (5,8,7) een Eisenstein drietal. Inderdaad: $5^2+8^2-5.8=49=7^2$ .