Eenvoudige ongelijkheden | Wiskunde is leuk

Het is voor iedereen duidelijk dat een kwadraat van een reeël getal nooit negatief kan zijn. Het uitwerken van $(a-b)^2\geq 0$ geeft ons twee eenvoudige ongelijkheden, waarmee we snel aan het werk kunnen ( veronderstel alle getallen positief):

$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$ .
$\Big(\frac{a+b}{2}\Big)^2 \leq \frac{a^2+b^2}{2}$ .

Twee voorbeelden:

Bewijs dat $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ .

Uit formule 1 vinden we $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ , maar ook dat $a+c \geq 2\sqrt{ac}$ en $c+b \geq 2\sqrt{cb}$ , dus is $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca}=8abc$ .
Bewijs, als $a+b=1$ , dan is $\Big(a+\frac{1}{a}\Big)^2+\Big(b+\frac{1}{b}\Big)^2 \geq \frac{25}{2}$ .
Uit formule 2 volgt het linkerlid groter is dan of gelijk is aan $\frac{2}{4}\Big(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\Big)^2=\frac{1}{2}\Big(1+\frac{a+b}{ab}\Big)^2 =\frac{1}{2}\Big(1+\frac{1}{ab}\Big)^2$ . Uit formule 1 weten we dat $a+b=1 \geq 2\sqrt{ab}$ ofwel $ab \leq \frac{1}{4}$ . Hieruit volgt dat $\frac{1}{ab} \geq 4$ .
Bijgevolg is $\Big(a+\frac{1}{a}\Big)^2+\Big(b+\frac{1}{b}\Big)^2 \geq \frac{1}{2}(1+4)^2=\frac{25}{2}$ .