Derangement | Wiskunde is leuk

Een derangement is een permutatie zonder vaste punten, met andere woorden een ordening waar geen enkel element op de juiste plaats staat. Het aantal derangements van n verschillende elementen wordt aangeduid met !n : subfaculteit. Het probleem van het tellen van het aantal derangementen werd in 1708 voor het eerst beschouwd door Pierre Raymond de Montmort, die het probleem oploste in 1713, ongeveeer tegelijkertijd met Nicolaas Bernoulli.

Voor 3 elementen zijn er 3! = 6 permutaties. De ordeningen 312 en 231 zijn derangements. Het zijn de enige, dus !3=2. Voor 4 elementen is, het al wat moeilijker:

Hierboven zie je de 24 permutaties van de 4 elementen {1,2,3,4}. De blauwe zijn de derangements, dus !4=9. Je kan nagaan dat !5=44, !6= 265 en !7=1854. Er zijn echter ook formules beschikbaar om de subfaculteiten uit te rekenen:

$\text{!n}=(n-1)[!(n-1)+!(n-2)]$

$\text{!n}=n!\sum_{i=0}^n\dfrac{(-1)^i}{i!}$

Uit deze laatste formule kan je de verhouding tussen !n en n! afleiden:

$\dfrac{!n}{n!}=\dfrac{1}{e} \approx 0,368$