De limaçon van Pascal | Wiskunde is leuk

Een andere voorbeeld van een ‘meetkundige’ kromme is de Limaçon van Pascal. Neem een willekeurig punt A op een cirkel met straal r. Teken door A een rechte l die de cirkel een tweede keer snijdt in P. Construeer 2 punten op l die op een afstand a van P liggen: $Q_1$ en $Q_2$ . Bepaal de meetkundige plaats van deze punten als de rechte l rond A draait.

Neem de oorsprong van het assenstelsel in het middelpunt van de gegeven cirkel en de X-as door A. De rechte l heeft als vergelijking: $y=\lambda (x-r)$ . Het andere snijpunt van l met de gegeven cirkel is $P(r.\dfrac{\lambda^2-1}{\lambda^2+1},-2r.\dfrac{\lambda}{\lambda^2+1})$ . Om de meetkundige plaats te kennen van de punten $Q_1$ en $Q_2$ moeten we $\lambda$ elimineren uit $y=\lambda (x-r)$ en uit de vergelijking van de cirkel met middelpunt P en straal a. Dit geeft na wat berekeningen:

$(x^2+y^2-r^2)^2=a^2[(x-r)^2+y^2]$

Met Geogebra krijgen we 3 constructies:

Als $a<2r$ :
Als $a=2r$ , dan krijgen we de cardioïde:
Als $a>2r$ :

Deze kromme, de Limaçon van Pascal, wordt genoemd naar deFranse jurist en wiskundige Etienne Pascal ( 1588-1651), de vader van, de ons meer bekende, Blaise Pascal. Vroeger onderzoek werd reeds gedaan door Dürer. De naam werd gegeven door Gilles de Roberval. Limaçon is het Franse woord voor ‘slak’.