Corona

Geplaatst op 31 maart 2020 door admin

Het basis reproductiegetal R₀ geeft aan op hoeveel nieuwe mensen een besmet iemand het virus overdraagt. Men noemt dit ook simpelweg de ‘besmettelijkheid’. Een besmettingsgetal van 2 betekent dat een drager van de infectie gemiddeld 2 andere mensen zal besmetten. Voor het covid-19 virus zitten de meeste schattingen voor R₀ tussen de 2 en 3. Daarmee is dit virus besmettelijker dan de seizoensgriep, die meestal een R₀ van 1 tot 2 heeft. Het covid-19 virus is echter weer veel minder besmettelijk dan bijvoorbeeld het mazelenvirus, dat een R₀ van 12 tot 18 heeft. Hieronder treft u ter vergelijking een tabel aan met basis reproductiegetallen voor een aantal bekende ziekten:

Ziekte	R₀
Mazelen	12-18
Polio	5-7
Rodehond	5-7
Bof	4-7
Aids	2-5
SARS	2-5
Covid-19	2-3
Influenza	1-2

Hoe groter R₀ des te sneller neemt het aantal geïnfecteerde mensen toe, en des te moeilijker zal de infectie onder controle te krijgen zijn. Belangrijk is ook om te weten dat R₀ geen constante is. R₀ is namelijk mede afhankelijk van het aantal contacten waarbij besmetting mogelijk is. Vandaar ook de oproep vanuit het ministerie om zoveel mogelijk thuis te blijven en ruim afstand te houden tot anderen. Het concept van het reproductiegetal werd ontwikkeld in het werk van Alfred Lotka (1880-1949), Ronald Ross (1857-1932) en George MacDonald(1903-1967). Hieronder een foto van Lotka:

Het effectieve reproductiegetal
Als iemand immuun is geworden, door vaccinatie of door de ziekte te hebben doorstaan, leidt het oppikken van het virus niet meer tot een besmetting. Voor de bepaling van het effectieve reproductiegetal is van belang welk deel van de bevolking nog vatbaar is. Geven we die fractie aan met de letter s, dan geldt de formule R = R₀ · s.

Het effectieve reproductiegetal R is cruciaal voor het verloop van de besmetting. Bij R > 1 breidt de pandemie zich verder uit en bij R < 1 dooft de pandemie op den duur uit. Voor de grens tussen toename en uitdoven geldt de formule s = 1/R₀.

Het getal e

Geplaatst op 19 maart 2020 door admin

Het product 1.2.3.4….n wordt genoteerd door n! en noemt men n faculteit. De grootte van de faculteiten neemt zeer snel toe:
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=720
7!=5040
8!=40320
9!=362880
10!=3628800

Even snel nemen dus de waarden van de termen in de volgende som af:

$a_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots +\frac{1}{n!}$

We kunnen verwachten dat, naarmate n groter wordt, de waarde van $a_n$ zeer weinig zal toenemen en een bepaald getal niet zal overschrijden. We kunnen aantonen dat $a_n$ kleiner blijft dan 3.

Als we in k! elke factor, behalve de eerste, vervangen door 2, dan zien we duidelijk dat $k!> 2^{k-1}$ . Bijgevolg is $a_n$ kleiner dan $1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}$ . Vanaf de tweede term herken je hierin de som van de termen van een meetkundige rij.De limiet hiervan is $\frac{1}{1-0,5}=2$ . Hieruit volgt dat , voor toenemende n waarden, $a_n$ zeker kleiner is dan $1+2=3$ .

De getallen $a_n$ zijn termen van een naar boven begrensde , stijgende rij en dus zal die rij convergeren. Die limiet noemen we het getal e. Met $a_{12}$ te berekenen vindt we dat $e\approx 2,7182818$ .

Het was de Schotse wiskundige John Napier die het eerst met dit getal geconfronteerd werd, toen hij werkte aan de eerste rekenlinialen.

Het getal werd door Euler het exponentiële getal genoemd. Vandaar ook, waarschijnlijk, de letter e voor dit getal. Het was ook Euler die de meeste eigenschappen van dit getal vond.

Corona virus

Geplaatst op 5 maart 2020 door admin

Hierboven zie de evolutie van het aantal besmettingen aan het Corona virus in China ( in het blauw); je herkent hierin de typische S-vorm van de logistische functie met voorschrift

$f(x)=\frac{L}{1+e^{-k(x-a)}}$

Deze functie werd ontdekt door de Belgische wiskundige Pierre-François Verhulst(1804-1849). Het beschrijft het verloop van de omvang N(t) van een populatie in functie van de tijd, als de verandering van de populatie-omvang zowel evenredig is met de huidige omvang N(t) van de populatie als met een bepaalde “groeiruimte”. In het begin stijgt de populatie-omvang langzaam, omdat het aantal individuen nog laag is. Aan het eind stijgt de populatie-omvang ook nog maar langzaam en nadert asymptotisch naar een bepaalde limiet; Als de populatiegrootte de helft van het maximum bereikt heeft, is de stijging het grootst: daar heeft de exponentiële groei de overhand.

2020

Geplaatst op 10 januari 2020 door admin

Mijn allerbeste wensen voor een creatief 2020!

Wist je trouwens dat 2020 de som is van kwadraten van 4 opeenvolgende priemgetallen?

2020 = 17² + 19² + 23² + 29²

Vampier getallen

Geplaatst op 13 oktober 2019 door admin

Een vampier getal is een getal met 2n cijfers dat geschreven kan worden als een product van twee getallen van n cijfers die ontstaan door de cijfers van het oorspronkelijke getal te gebruiken. Zo is 1260 een vampier getal want

$1260=21 \times 60$

Vampier getallen werden het eerst gebruikt door Clifford Pickover, een Amerikaanse columnist op het gebied van wetenschap en wiskunde.

Sommige getallen kunnen zelfs op meerdere manieren als een vampier getal geschreven worden: 125460 = 204 × 615 = 246 × 510

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Weetjes