Krommen van Lamé

Geplaatst op 23 januari 2022 door admin

De krommen van Lamé zijn ellipsvormige krommen die voor het eerst gedefinieerd werden door de Franse wiskundige Gabriel Lamé in 1818.

Ze worden gedefinieerd door de vergelijking:

$|\frac{x}{a}|^n+|\frac{y}{a}|^n=1$

Een paar voorbeelden:

Een spirograaf

Geplaatst op 24 december 2021 door admin

Een spirograaf is een instrument dat gebruikt wordt om geometrische figuren te tekenen. De spirograaf werd bedacht door Denys Fisher ( 1918-2002), een Engelse ingenieur. Het instrument bestaat uit een aantal tandwielen en een aantal andere voorwerpen, zoals ringen, driehoeken, rechte strips, ook voorzien van vertanding langs de rand (en in geval van de ringen ook langs de binnenkant). De onderdelen kunnen met spelden op de ondergrond worden vastgeprikt en andere onderdelen kunnen door middel van de vertanding langs een vastgeprikt voorwerp rollen. In de onderdelen bevinden zich diverse gaatjes waardoor een potlood of pen met dunne punt kan worden gestoken. Door de stralen van de schijven en de positie van het gaatje te variëren kunnen tal van patronen worden vervaardigd.

Door de stralen van de schijven en de positie van het gaatje te variëren kunnen tal van patronen worden vervaardigd.

De volhardingswaarde

Geplaatst op 1 december 2021 door admin

Neem een willekeurig getal, zeg 56 en vermenigvuldig de cijfers. dan bekom je 5*6=30. Bij dit getal neem je opnieuw het product van de cijfers: 3*0=0. Als je nu verder zou gaan met het product van de cijfers te nemen, dan verandert er niets meer. Na 2 stappen bekom je dus een getal van 1 cijfer. We noemen 2 de volhardingswaarde van het gegeven getal 56.

Algemeen: Neem dus een willekeurig getal, vermenigvuldig alle cijfers met elkaar, zodat je een nieuw getal krijgt. Als dat getal meerdere cijfers bevat, herhaal je het proces van cijfers vermenigvuldigen, totdat je maar 1 cijfer over houdt. Het aantal stappen dat je daarvoor nodig hebt noem je de volhardingswaarde van het gegeven getal.

Een programma in Python:

Is er een maximaal aantal stappen voor een willekeurig getal? Dit ‘eenvoudig’ probleem werd bedacht door Neil Sloane, een Amerikaanse wiskundige.

We kennen hem het best van zijn website (oeis.org) met zijn verzameling getallenreeksen. In 1973 schreef hij in Journal of Recreational Mathematics een artikel over het probleem van de volhardingswaarde. Hij beweerde dat we maximaal 11 stappen kunnen maken eer we een enkel cijfer over houden, hoe groot het begin getal ook is. Dit vermoeden werd tot op heden nog niet bewezen.

Het kleinste getal met volhardingswaarde 1 is uiteraard 10. Verder is 25 het kleinste getal met volhardingswaarde 2, 39 het kleinste getal met volhardingswaarde 3, 77 het kleinste getal met volhardings-waarde 4 en 679 het kleinste getal met volhardingswaarde 5.

De kleinste getallen met volhardingswaarden 6,7,8,9,10 en 11 zijn respectievelijk 6788,68889,2677889,26888999,3778888999 en 277777788888899.

22/7

Geplaatst op 6 november 2021 door admin

Vroeger vertelde men ons dat we voor $\pi$ de breuk $\frac{22}{7}$ mochten nemen. Natuurlijk drong het niet bij iedereen door dat dit een benadering was. Een bewijsje:

Neem de functie

$f(x)=\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}$

f is strikt positief en continu tussen 0 en 1.
Dus is $\int_0^1f(x) dx>0$ .
De Euclidische deling geeft $\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}=x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}$ .
Een primitieve functie van f is dan $\frac{1}{7}x^7-\frac{4}{6}x^6-x^5-\frac{4}{3}x^3+4x-4\text{Bgtan }(x)$ .
Bijgevolg is $\int_0^1f(x) dx= \frac{22}{7}-\pi$ .
Uit het tweede puntje volgt dan:
Narekenen op rekentoestel geeft $\frac{22}{7}=3,142857142857,...$ en $\pi=3,14159265...$ .