Categorie archieven: Weetjes

Grazende koeien

Geplaatst op door

 

Op een weide grazen 70 koeien in 24 dagen de hele weide kaal. Zou men er slechts 30 koeien opzetten dan was er voldoende gras voor 60 dagen. Hoeveel koeien kan men op de weide plaatsen als men wilt dat er voldoende voedsel is voor 96 dagen?

  • Hoe meer koeien hoe minder graasdagen? Dus omgekeerd evenredig?
  • Neen, want dan zou het product van het aantal koeien en het aantal graasdagen constant moeten zijn en in ons verhaal is dat niet zo :

        \[70*24\neq 30*60\]

  • Er zit een verborgen onbekende in ons probleem. We mogen gerust veronderstellen dat het gras op gelijkmatige wijze groeit van dag tot dag. Noteer met y de dagelijkse aangroei van de grashoeveelheid als fractie van de oorspronkelijke hoeveelheid. Stel de oorspronkelijke hoeveelheid gras door door 1.
  • Per dag eten de koeien dan, in het eerste geval,

        \[\frac{1+24y}{24}\]

  • Per koe en per dag is dat dan

        \[\frac{1+24y}{24*70}\]

  • Een analoge redenering voor de tweede situatie geeft dan:  

        \[\frac{1+60y}{30*60}\]

  • Door deze 2 formules aan elkaar gelijk te stellen vinden we y=\frac{1}{480}
  • Elke koe eet dus per dag een \frac{1}{1600}-ste deel van de oorspronkelijke hoeveelheid gras eet.
  • In te vullen in het laatste gegeven, waarbij we het aantal koeien voorstellen door x, krijgen we :

        \[\frac{1+96\frac{1}{480}}{96x}=\frac{1}{1600}\]

  • Hieruit volgt dat x=20.

Dit probleem is gebaseerd op het grazende koeienprobleem van Sir Isaac Newton ( in Aritmethica Universalis uit 1707)

Roosterpunten op een hyperbool

Geplaatst op door

Beschouw de vergelijking

    \[3x^2-4xy+5=0\]

Bij de vraag  naar oplossingen (x,y) van deze vergelijking is het nodig te specifiëren tot welke verzameling deze oplossingen moeten behoren. De grafiek, volgens Wolfram Alpha, is:

  • Elke reële oplossing bepaalt een punt van deze parabool.
  • De rationale oplossingen zijn

        \[\{(q,\frac{3q^2+5}{4q}: q\in \mathbb{Q}\}\]

    De hyperbool bevat dus ook oneindig veel punten met rationale coördinaten.
  • Zijn hier gehele oplossingen bij en zo ja dewelke? Als we op zoek zijn naar gehele oplossingen en als de vergelijking ook enkel gehele coëfficiënten heeft, spreken we van een Diophantische vergelijking. 
    Omdat

        \[3x^2-4xy+5=0\leftrightarrow x(3x-4y)=-5\]

    moeten, als x en y geheel zijn, zowel x als 3x-4y gehele delers zijn van -5. Dit aantal is eindig.
    Dit geeft 4 oplossingen met gehele getallen of met andere woorden 4 roosterpunten op de hyperbool: (1,2),(-1,-2),(5,4) en (-5,-4)

Omzetting mijlen naar kilometer

Geplaatst op door

1 mijl( = 1 mi ) is 1,609344 km, wat dicht bij het gulden getal \varphi =1,618 ligt. De waarde van \varphi wordt benaderd door de verhouding van twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci. Daarom kan je voor de omzetting van mijlen naar kilometer en omgekeerd gebruik maken van opeenvolgende Fibonacci getallen, met vrij grote nauwkeurigheid.

Computationeel denken

Geplaatst op door
Computationeel denken is een denkmethode waarbij je alles wat je doet, omschrijft in kleine deelstappen zodat je een opdeling krijgt van de op te lossen ‘probleempjes’. Het is een individueel proces. Elke leerling werkt vanuit andere deelvragen. Hoe jonger je leerlingen zijn, hoe meer gelijklopend die deelvragen of stappen zullen zijn.

Er zijn met computationeel denken altijd meerdere mogelijke  werkwijzen. De oplossing binnen wiskunde zal hetzelfde zijn voor de hele klas, maar elke leerling kan een eigen strategie kiezen of bedenken om tot die oplossing te geraken. Vanaf dat een kind praat, stelt het zelf alles in vraag “Waarom?”. Hoe jonger het kind, hoe kleiner we de deelstappen maken.”

Eerst wordt er een overzicht gegeven van het eindproduct ‘het grote probleem’ om vervolgens stap voor stap het probleem op te lossen. Er wordt stap voor stap, blok per blok gebouwd om tot het geheel te komen. Eigenlijk is dat computationeel denken. Oudere leerlingen zijn zelf in staat om te beslissen welke vragen ze zichzelf moeten stellen om tot het eindproduct te komen.


Wiskunde is het meest logische vak om computationeel denken aan te leren. Als heuristiek wordt een probleem opgelost door het stellen van deelvragen, denk aan het algoritme: gegeven, gevraagd, oplossing. Probleemoplossend denken is eigenlijk hetzelfde basisprincipe als computationeel denken. Het inzichtelijk leren of het leren door zichzelf vragen te stellen, stelt de leerling in staat inzicht te krijgen in het grote geheel. 

De Amerikaanse onderzoekster Jeannette Wing introduceerde in 2006 het begrip computationeel denken als volgt:

“Computational thinking is reformulating a seemingly difficult problem into one we know how to solve, perhaps by reduction, embedding, transformation or simulation.”

Computationeel denken is daarom, volgens haar,  een basisvaardigheid, die iedereen zou moeten beheersen, naast lezen, rekenen en schrijven.