Categorie archieven: Weetjes

Veralgemening van de driehoek van Pascal

Geplaatst op door

In deze driehoek wordt elk element verkregen door de som te nemen van 3 elementen, namelijk het element erboven en de 2 elementen links daarvan. Zo is bijvoorbeeld het element 45 op de 6de rij gelijk aan de som 19 + 16 + 10. Als er op die plaatsen niets staat, wordt er 0 genomen.

De driehoek van Pascal is verbonden met het binomium van Newton. Deze veralgemeende versie van de driehoek van Pascal is verbonden met:

Zo kan je tevens gemakkelijk bewijzen dat de rijsom in deze veralgemeende versie steeds een macht van 3 is.  De rijsommen zijn inderdaad 1,3,9,27,81…

Dit is gemakkelijk te verklaren als je in bovenstaande formules a vervangt door 1.

De parabool van Neile

Geplaatst op door

In 1657 berekende de Britse wiskundige William Neile (1637-1670), als eerste de booglengte van een algebraïsche kromme:

    \[a^2x^3=y^2\]

Daarvoor kon men al wel de booglengte bepalen van transcendente krommen zoals de cycloïde en de logaritmische spiraal.

Deze kromme wordt de semikubische parabool , of parabool van Neile, genoemd, wat gemakkelijker te begrijpen valt als we deze herschrijven als y=\pm ax^{1,5}

Een parametervergelijking wordt gegeven door x(t)=t^2 en y(t)=at^3. De semikubische parabool ontstaat als evolute van de parabool. Een evolute is de meetkundige plaats van alle krommingsmiddelpunten (middelpunt van de cirkel die in het gegeven punt de kromme ‘kust’) van de gegeven parabool.

 

Spiraal van Ulam

Geplaatst op door

Je kan volgend rooster van natuurlijke getallen maken in de vorm van een spiraal:

De wiskundige Stanislaw Ulam kreeg in 1963 het idee om e priemgetallen hierbij aan te duiden 

Hij zag, tot zijn verbazing, dat de priemgetallen de neiging hebben om zich op diagonalen van de spiraal te bevinden. De diagonalen zijn ook zichtbaar wanneer er heel veel getallen in een spiraal worden geplaatst. Het opvallende is, dat priemgetallen zich meer op bepaalde diagonalen bevinden dan op andere. De reden hiervoor is alsnog onduidelijk.

Een regendruppel…

Geplaatst op door

Een regendruppel met massa m valt onder invloed van de zwaartekracht en ondervindt een wrijving die recht evenredig mag genomen worden met de snelheid v. Bereken de snelheid in functie van t.

  • Volgens de wetten van Newton is de kracht waaraan de regendruppel onderhevig is: F=m.a , waarbij a de versnelling is van de druppel.
  • Deze kracht F is de resultante van de zwaartekracht F_1=m.g en de wrijving F_2=-k.v, waarbij k een evenredigheidsfactor is.
  • Dus

        \[m.a=m.g-kv\]

  • Nu weten we dat a=v'. Bijgevolg is m.v'=m.g-k.v.
  • We kunnen dit herschrijven als \frac{dv}{m.g-kv}=\frac{dt}{m}.
  • Als we beide kanten integreren krijgen we : -\frac{1}{k}\ln (m.g-k.v)=\frac{t}{m}+c, waarbij c de integratieconstante voorstelt.
  • Uitwerken geeft: m.g-k.v=A.e^{-\frac{kt}{m}.
  • Als t=0, veronderstellen we dat v=0. Hieruit vinden we dat A=m.g.
  • Vullen we dit in en lossen we op naar v, dan vinden we uiteindelijk

        \[v=\frac{m.g}{k}\Big( 1-e^{-\frac{kt}{m}\Big)\]

  • We zien dat na zekere tijd de regendruppel mat praktisch constante snelheid zal vallen.