Partities

Geplaatst op 14 februari 2016 door admin

Al eeuwenlang proberen de knapste wiskundekoppen grip te krijgen op de zogeheten partitiefunctie. Deze functie geeft aan op hoeveel manieren een aantal knikkers kan worden opgedeeld in groepjes. Zo kun je 5 knikkers bijvoorbeeld verdelen in vier groepjes: één groepje van 2 en drie groepjes van 1. Als som kun je dit schrijven als 5 = 2 + 1 + 1 + 1. Een andere partitie is 5 = 3 + 2 (twee groepjes). Ook 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (vijf groepjes) en 5 = 5 (één groepje) zijn partities. In totaal zijn er 7 partities van 5. We noteren dat als p(5) = 7.

In het algemeen geven we het aantal partities van n aan met p(n). De rij partitiegetallen is de rij p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) enzovoorts. Die rij ziet er zo uit: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, ….

De getallen in die rij worden al snel ongelofelijk groot. Zo is p(20) = 627 en p(100) is al meer dan 190 miljoen.

Grote namen als Euler en Ramanujan hebben diepe inzichten verkregen in de theorie van partities. Hoewel zij met hun berekeningen veel vragen konden beantwoorden, riepen hun berekeningen uiteindelijk nog meer vragen op, waarop ook zij het antwoord schuldig moesten blijven.

Wiskundige Ken Ono heeft met een aantal collega’s nieuwe grote vorderingen gemaakt op het gebied van partities. Het team onder leiding van Ono wist te bewijzen dat de partitiegetallen zich in zekere zin gedragen als fractals, een resultaat dat niemand eerder voor mogelijk had gehouden. Zij hebben deelbaarheidseigenschappen van partities ontrafeld en een theorie ontwikkeld die de ‘oneindig herhalende’ structuur verklaart. Bovendien hebben ze de eerste eindige formule opgesteld om partitiegetallen te berekenen.

“We hebben bewezen dat partitiegetallen een ‘fractale structuur’ hebben voor elk priemgetal. Deze getallen zijn ‘zelfherhalend’ in a shocking way”, aldus Ono. “Met onze methode hebben we een antwoord gevonden op diverse vragen die tot nu toe nog open stonden.” Ongetwijfeld zullen de nieuwe resultaten leiden tot veranderingen in hoe wiskundigen partities bestuderen.

Bevriende getallen

Geplaatst op 9 februari 2016 door admin

Een voorbeeld van een combinatie van de getalmystiek van Pythagoras met harde wiskunde, zijn de bevriende getallen.

De Pythagoreeërs hechtten veel waarde aan vriendschap. Pythagoras zou volgens een latere schrijver gezegd hebben: “Wat is een vriend? Een ander ik, zoals gesymboliseerd wordt door de getallen 220 en 284” .

delers van 220 zijn(behalve 220 zelf) : 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55, 110

de som van de delers van 220: 1+2+4+5+10+11+20+44+55+110=284

delers van 284 zijn (behalve 284 zelf) : 1, 2, 4, 71, 142

De som van de delers van 284: 1+2+4+71+142=220

De vraag rijst of er nog meer paren bevriende getallen dan het paar 220, 284 dat in de oudheid bekend was. In de negende eeuw vond een Arabisch wiskundige een formule voor bevriende getallen, en met behulp daarvan een tweede paar 17296, 18416. Het volgende paar 9.363.584, 9.437.056 werd in Perzië gevonden omstreeks 1600. Tegenwoordig zijn er zo’n 50.000 paren bevriende getallen bekend.

In diverse Arabische teksten wordt een magische toepassing hiervan beschreven. Als je een goede relatie met iemand wil opbouwen, moet je een stukje papier nemen en daarop de getallen 220 en 284 schrijven. Daarna moest je dat in twee stukken scheuren, het ene stuk met het ene getal zelf opeten, en het andere heimelijk door het voedsel van die ander doen zodat hij of zij het andere getal naar binnen krijgt zonder het zelf te weten. Dit zal een positief effect hebben op de relatie. Het effect wordt volgens sommige auteurs nog sterker als je de getallen opschrijft op het moment dat Venus aan de oostelijke horizon opgaat, of een gunstig aspect maakt met de maan.

Eisenstein drietallen

Geplaatst op 7 oktober 2015 door admin

We noemen een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) een Eisenstein drietal als $a^2-ab+b^2=c^2$ . Zo is (3,8,7) een Eisenstein drietal

De naam komt van George Eisenstein, een leerling van Gauss. Daar waar Pythagorese drietallen corresponderen met een rechthoekige driehoek, komen Eisenstein drietallen overeen met een driehoek met een hoek van 60° waarbij c de zijde is tegenover de hoek van 60°. Want uit de cosinusregel volgt :

$c^2=a^2+b^2-2ab cos 60^\circ=a^2+b^2-ab$

De Pythagorese drietallen konden via de definitie van de norm van een complex geheel getal geconstrueerd worden in $\Mathbb{Z}[i]$ . We proberen iets gelijkaardigs te doen voor de Eisenstein drietallen.

Definieer $\omega$ als de derde machtswortel uit 1: $\omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ .
Omdat $\omega$ voldoet aan de vergelijking $z^3=1$ , zal $\omega^2+\omega+1=0$ .

Vorm dan de verzameling $\mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega : a,b \in \mathbb{Z}\}$ en definieer norm als $N(a+b\omega)=a^2+b^2-ab$ . Je kan bewijzen dat de norm multiplicatief is en dus dat $N(z^2)=(N(z))^2$ .

Om een Eisenstein drietal te vormen ga je dan als volgt te werk: Neem een willekeurig element van de vorm $x+y\omega$ en bereken het kwadraat ervan. Dit is een element van de vorm $a+b\omega$ . Dan zal $(a,b,x^2+y^2-xy)$ een Eisenstein drietal zijn.

Neem bijvoorbeeld $z=3+2\omega$ . Dan is $z^2=9+12\omega+4\omega^2$ of $z^2=9+12\omega-4-4\omega= 5+8\omega$ . Verder is $N(z)=9+4-6=7$ . Bijgevolg is (5,8,7) een Eisenstein drietal. Inderdaad: $5^2+8^2-5.8=49=7^2$ .

Pythagorese drietallen en complexe getallen

Geplaatst op 4 oktober 2015 door admin

Een Pythagorees drietal is een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) waarvoor geldt dat $a^2+b^2=c^2$ . Zo is (3,4,5) een Pythagorees drietal omdat $3^2+4^2=5^2$ . De naam komt van de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden van een rechthoekige driehoek met c als lengte van de schuine zijde.

Een Pythagorees (a,b,c) drietal heet primitief als de grootste gemene deler van a,b en c gelijk is aan 1. Zo is (3,4,5) primitief , maar ( 6,8,10) niet.

Wat hebben complexe getallen hiermee nu te maken? Neem een complex getal z = a+ bi met a en b geheel. We spreken dan van een complex geheel getal. Definieer de norm N(z) van het complex getal als $N(z) = a^2+b^2$ . Het is duidelijk dat de norm multiplicatief is, m.a.w. $N(z.w)=N(z).N(w)$ . Maar dan is

$N(z^2)=(N(z))^2$

De betrekking $a^2+b^2=c^2$ kan je dus herschrijven als $N(z)=c^2$ met $z=a+bi$ . We zijn dus op zoek naar complexe gehele getallen waarvan de norm een volkomen kwadraat is. Maar bovenstaande formule leert ons dat de norm van een complex getal een volkomen kwadraat is als het zelf een volkomen kwadraat is. Om een Pythagorees drietal te construeren, nemen we dus een willekeurig complex geheel getal en kwadrateren we dit getal. Dit kwadraat zal een complex getal zijn $a+bi$ zijn, waarvan de norm $N(a+bi)=a^2+b^2$ een volkomen kwadraat is.

Neem bijvoorbeeld het complex getal $2+i$ . Dan is $(2+i)^2=4+4i+i^2=3+4i$ . De norm van dit kwadraat is $3^2+4^2=25$ . Hiermee correspondeert het Pythagorees drietal $( 3,4,5)$ .

Vertrekken we algemeen van het complex geheel getal $z=x+yi$ . Kwadrateren we $z$ : $(x+yi)^2=x^2-y^2+2xyi$ . De norm hiervan is $(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=(x^2+y^2)^2$ Zo krijgen we de gekende formule voor een willekeurig Pythagorees drietal

$(x^2-y^2,2xy,x^2+y^2)$

Als x en y onderling ondeelbaar zijn , dan is het zo gevormde Pythagorees drietal primitief. Bijgevolg hebben we aangetoond dat met deze constructie via kwadraten van complexe gehele getallen $x+yi$ met x en y onderling ondeelbaar, elk primitief Pythagorees drietal kan worden verkregen.

De wet van Bedford

Geplaatst op 22 september 2015 door admin

Neem een willekeurig getal uit een grote verzameling natuurlijke getallen, verschillend van 0. Hoe groot is de kans dat het begincijfer een 1 is ? Of een 2? Uiteraard verwachten we dat elk cijfer evenveel kans heeft om als begincijfer op te treden.

Neem de proef op de som en neem als voorbeeld de verzameling beurskoersen op de beurspagina van de krant van vandaag. Natuurlijk zullen sommige van die getallen beginnen met een 1, maar aanzienlijk minder dan de getallen die met een 1 beginnen. Het begincijfer 3 is nog zeldzamer en uiteindelijk vormen de getallen die beginnen met een 9 een kleine minderheid.

Al in 1881 observeerde Simon Newcomb dit fenomeen. Deze wiskundige astronoom ontleende een veelgebruikt boekje met logaritmetafels uit de bibliotheek en hij vond dat vooral de pagina’s met getallen met begincijfer 1 er verfrommeld uitzagen. Hij publiceerde zelfs een artikel waarin hij de volgende formule voorstelde om de kans P(n) te berekenen op begincijfer n:

$P(n) = \log ( 1+\dfrac{1}{n})$

Als je deze formule gebruikt dan vindt je ongeveer 30% kans hebt dat het begincijfer een 1 is. In een diagram :

In 1938 kwam de natuurkundige Frank Bedford tot dezelfde bevinding onafhankelijk van Newcomb. Het verschil was dat hij zich baseerde op meer dan twintigduizend getallen, willekeurig geplukt uit kranten en edities van Readers Digest. Sinds zijn publicatie refereert iedereen naar bovenstaande formule als de formule van Bedford.

Maar een wet die niet bewezen wordt; neemt een folkloristische plaats in naast wetten zoals de wet van Murphy. Gelukkig heeft de kanstheoreticus Ted Hill in 1996 een formeel wiskundig bewijs gevonden voor de wet van Bedford. De cruciale voorwaarde in zijn bewijs is dat de getallen willekeurig uit verschillende kansverdelingen gekozen worden, met dus een variërend bereik

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Weetjes

Partities

Bevriende getallen

Eisenstein drietallen

Pythagorese drietallen en complexe getallen

De wet van Bedford