Driehoekswortels

We kennen allemaal de vierkantsgetallen en de driehoeksgetallen:

drie

 

Het  n-de vierkantsgetal wordt gegeven door de formule: V_n=n^2.

Het n-de driehoeksgetal wordt gegeven door D_n=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.

Naar analogie met de vierkantswortel van een getal benoemen we de positieve driehoekswortel van x als het getal n waarvoor D_n=x.

Dan is x=\dfrac{n(n+1)}{2} \Leftrightarrow n^2+n-2x=0 \Leftrightarrow n=\dfrac{\sqrt{8x+1}-1}{2}.
Wil de driehoekswortel bestaan dan moet uiteraard 8x+1 \geq 0.
Een geheel getal is is dus een driehoeksgetal als 8x+1 een kwadraat is.

De driehoekswortel van 3 is 2, want 3 is het 2-de driehoeksgetal.
De driehoekswortel van 6 is 3, want 6 is het 3-de driehoeksgetal.
De driehoekswortel van 5 is \dfrac{\sqrt{41}-1}{2} \approx 2,70156. We zien dat 5 tussen het 2-de en 3-de driehoeksgetal ligt.

Veeltermen die priemgetallen uitspuwen

Neem de veelterm 2x^2+29, en bereken de getalwaarde voor alle natuurlijke getallen tot en met 28. Je krijgt de volgende rij van getallen : 29,31,37,47,…,1597. Dit zijn allemaal priemgetallen. Vullen we 29 in dan krijgen we natuurlijk een getal dat deelbaar is door 29 en dus niet priem is.

De veelterm x^2+x+17, ingevuld voor alle natuurlijke getallen tot en met 15, geeft ook allemaal priemgetallen. De bekendste veelterm is zeker deze van Euler: x^2-x+41 die voor alle natuurlijke getallen tot en met 40 priemgetallen geeft. Nog beter doet de veelterm x^2-79x+1601 die voor alle natuurlijke getallen tot en met 79 priemgetallen uitspuwt.

 

euler

Het is wel duidelijk dat er geen niet-constante veelterm bestaat die alle priemgetallen voortbrengt. Dit kan je zelfs bewijzen:
Stel dat A(x) een niet-constante veelterm is die voor elk natuurlijk getal een priemgetal voortbrengt. Neem a \in \mathbb{N} dan is A(a)=p met p een priemgetal. Maar dan is A(a+p)\equiv 0 \text{ mod } p en omdat ook A(a+p) een priemgetal moet zijn is A(a+p)=p. We kunnen dit herhalen voor de natuurlijke getallen a+kp en vinden dat \forall k \in \mathbb{N}: A(a+kp)=p. Bijgevolg heeft de veelterm A(x)-p oneindig veel nulwaarden en is die veelterm dus constant, wat tegen het gegeven is. Er bestaat dus geen niet-constante veelterm die alleen maar priemgetallen voortbrengt.

Hypathia van Alexandrië

hypatia

Hypatia is de bekendste vrouwelijke wiskundige uit de Griekse oudheid. Zij werd in het midden van de vierde eeuw na Christus geboren in Alexandrië. Al in de derde eeuw voor Christus was Alexandrië een centrum van wetenschap, toen de beroemde wiskundige Euclides er werkte. Het peil van de wiskunde was in de tijd van Hypatia wel gedaald, maar er waren nog wel goede bibliotheken.

Hypathia was een bekend vertegenwoordigster van de Platoonse filosofie, en wegens deze ‘misdaad’ werd zij in 415 door een Christelijke menigte aangevallen, in stukken gehakt en verbrand.

Van Hypatia zelf zijn geen geschriften bekend, maar wel weten we dat ze les gaf uit verschillende handboeken en die ook verbeterde. die handboeken waren de Elementen van Euclides, de werken van Archimedes, de kegelsneden van Apollonius en de Arithmetica van Diophantus. Buiten wiskunde doceerde Hypatia ook de filosofie van Plato: De menselijke ziel is onsterfelijk, en verkeerde voor de geboorte in de wereld van de ideeën; daarom is wiskunde leren alleen het je herinneren van iets dat je eigenlijk al weet van voor je geboorte. De taak van de wiskunde leraar of-lerares is om dit herinneringsproces te begeleiden, en Hypatia had daarin blijkbaar veel succes.

Bekend is ook de film Agora van regisseur Alejandro Amenábar met Rachel Weisz in de rol van Hypathia.

hypatia2

Op welke dag viel 1 januari 2000

Kan je bij een gegeven datum de juiste dag bepalen?

Sedert 15 oktober 1582 maken wij gebruik van de Gregoriaans kalender.  De formule die we zullen geven werkt dus enkel voor gebeurtenissen vanaf die datum tot 31 december 2399, wanneer de kalender weer een aanpassing nodig heeft.

In de formule stel d de datumdag voor en m het maandnummer. Voor het bepalen van het maandnummer maken we wel gebruik van de oude Juliaanse kalender die aan maar het nummer 1 gaf, april het nummer 2, enz. Het jaartal wordt opgesplitst in a: de eerste twee cijfers van het jaartal en b de laatste twee cijfers van het jaartal. Het resultaat is D de gevraagde dag, waarbij 0 staat voor de zondag, 1 voor de maandag,…

D\equiv d+\lfloor 2,6m-0,2\rfloor+\lfloor 0,25a\rfloor -2a+\lfloor0,25b\rfloor+b mod 7

Hierbij staat \lfloor x \rfloor voor het grootste geheel getal kleiner of gelijk aan x.

Welke dag was 1 januari 2000?

Omdat , volgens de Juliaanse kalender het jaar 2000 start op 1 maart, moeten we hier het jaartal 1999 nemen. Dus d=1,m=11,a=19,b=99, Dus D \equiv 1+\lfloor 2,4\rfloor+ \lfloor 4,75 \rfloor-38 +\lfloor 24,75 \rfloor +99 \equiv 118 \equiv 6 mod 7 . Bijgevolg viel 1 januari 2000 op een zaterdag.

jan

Superpriemgetallen

priem

 

Neem een priemgetal van 1 cijfer, bijvoorbeeld 2. Voeg er rechts een cijfer bij zodat het nieuwe getal nog steeds priem is . Bijvoorbeeld 23. Ga verder ! Ook 233 is priem. Zo kan je het rijtje  2,23,233,2333,23333 vormen.

Welk is langste priemgetal dat je zo kan vormen?
Via 7,73,739,7393,73939,739391,7393913 kom je uiteindelijk terecht bij een getal van 8 cijfers:

73.939.133

Wat is het langste priemgetal dat je kan vormen als je nu cijfers langs links bijvoegt?
Hier heb je wat meer werk want het getal bevat 24 cijfers:

357.686.312.646.216.567.629.137

Het getal genereert dus 24 priemgetallen , beginnend met 7, 37,137, 9137, …