Categorie archieven: Weetjes

Erlanger Programm van Felix Klein

Geplaatst op door

Felix Christian Klein (Düsseldorf, 25 april 1849 – Göttingen, 22 juni 1925) was een Duits wiskundige. Klein was hoogleraar aan de universiteiten van Erlangen, München, Leipzig en uiteindelijk Göttingen waar hij wiskunde doceerde. Zijn hoofdonderwerpen waren niet-euclidische meetkunde, groepentheorie en functietheorie. Naar hem is onder andere de fles van Klein genoemd. In 1912 kreeg hij de Copley Medal.

In 1872 hield hij zijn inaugurale rede aan de universiteit van Erlangen, beroemd geworden onder de naam Erlanger programm. Klein vond het noodzakelijk meetkunde te onderwijzen vanuit het groeptheoretisch standpunt. Dit betekent niet dat meetkunde moet vervangen worden door groepenleer, maar wel dat de eenvoudige begrippen en eigenschappen uit die theorie zouden gebruikt worden als verhelderende en ordenende elementen bij de opbouw van de meetkunde. Vanaf begin 20 ste eeuw werd algemeen aanvaard een meetkunde te definiëren als een invariantentheorie van een bepaalde transformatiegroep. In feite zegt Klein dat om aan meetkunde te doen twee dingen nodig zijn: een verzameling punten en een transformatiegroep. Meetkunde is de studie van de invarianten onder deze transformaties. Wanneer we iets aan de verzameling, of aan de groep veranderen hebben we een andere meetkunde. Alles wat niet invariant is is in feite onbelangrijk.

 

De paradox van Simpson.

Geplaatst op door

De Franse wiskundige B.Pascal legde omstreeks 1650 samen met Pierre de Fermat de grondslagen voor de kansrekening. Het berekenen van winstkansen is echter niet zo eenvoudig en je komt bij de toepassingen verschillende schijnbare tegenstellingen tegen.

Deze paradox is genoemd naar de statisticus E.H.Simpson en werd in 1951 voor het eerst gepubliceerd. Laten we die paradox  bespreken aan de hand van een voorbeeld.

In bovenstaande tabel staan de slaagcijfers van jongens en meisjes voor 3 studierichtingen: medische, humane en exacte wetenschappen. Uit deze tabel blijkt dat in de 3 verschillende richtingen de slaagpercentages van de meisjes net iets hoger liggen dan bij de jongens. Paradoxaal genoeg blijken de jongens in het totaal toch beter te presteren dan de meisjes: 51% tegen 46%.

De verklaring is dat meisjes zich meestal inschreven voor studierichtingen waar de slaagkansen kleiner waren. Dit is Simpsons paradox: als je gegevens van twee groepen op een onhandige manier combineert, dan lijken de resultaten van de groepen om te draaien.

De stelling van Pick

Geplaatst op door

Sommige stellingen zijn zo eenvoudig en elegant dat je jezelf kan afvragen: Waarom ben ik daar niet zelf op gekomen?  Dit geldt onder andere  voor de volgende stelling die vernoemd wordt naar zijn ontdekker: de Oostenrijkse wiskundige Georg Alexander Pick, geboren in 1859 in Wenen en overleden in 1942 in het concentratiekamp  Theresienstadt.

Het gaat over de oppervlakte van een roosterveelhoek, dit wil zeggen een veelhoek waarvan de hoekpunten op de punten van een regelmatig vierkant rooster liggen. Noteer met r het aantal roosterpunten op de rand van de veelhoek V en met i het aantal roosterpunten in het inwendige van V.

    \[\text{ Opp(V)} = i+\frac{r}{2}-1\]

pick

Voor deze veelhoek is de oppervlakte dus 9+\frac{8}{2}-1=12 oppervlakte eenheden.

Fermatgetallen

Geplaatst op door

In 1729 schreef Christian Goldbach aan Euler: Kent u de opmerking in het werk van Fermat dat alle getallen F_n=2^{2^n}+1 priemgetallen zijn? Hij schrijft dat hij het niet kan bewijzen, en voor zover ik weet heeft ook niemand anders een bewijs kunnen vinden.

Fermat had al opgemerkt dat de getallen F_n priemgetallen zijn voor n=0,1,2,3,4: F_0=3,F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65537, vandaar zijn vermoeden. Maar F_5=4294967297 ging zijn krachten te boven. De getallen F_n=2^{2^n}+1 noemt men Fermatgetallen.  Euler liet zich echter niet afschrikken en hij kwam tot het verrassende resultaat dat F_5 geen priemgetal is omdat het deelbaar is door 641. Het vermoeden van Fermat bleek dus niet waar te zijn – een van de zeldzame keren dat Fermat een vermoeden uitsprak dat onjuist is gebleken.

fer

Waar komt trouwens de vreemde vorm  2^{2^n}+1 vandaan?
Waarom niet gewoon 2^m+1? Wel, het is eenvoudig te bewijzen dat 2^m+1 alleen maar een priemgetal kan zijn als m van de vorm m=2^n is. Dit komt omdat, als q oneven is en groter dan 1, dan is a^q+1=(a+1)(a^{q-1}-a^{q-2}+\cdots -a+1). Op die manier kan men bewijzen dat m geen oneven deler kan hebben.

Hoe zit het met F_6=18446744073709551617? Daar lijkt zonder computer geen beginnen aan. Toch lukte het Landry en Le Lasseur in 1880 een volledige ontbinding te vinden. Ook van F_7, een getal van 39 cijfers, F_8 (78 cijfers), F_9 (155 cijfers) en F_{11} ( 617 cijfers) zijn inmiddels volledige ontbindingen gevonden. Geen van alle zijn het dus priemgetallen. Ook F_{10} is geen priemgetal, maar daarvan is alleen maar bekend dat het deelbaar is door 455925777 en 6487031809. Van de resterende factor kennen we de ontbinding niet.

Van nog veel meer Fermatgetallen is bewezen dat ze geen priemgetallen zijn. In feite is er nog steeds geen enkele grotere priem dan F_4 bekend. Bestaat er dus wel een zesde Fermat priemgetal? Het kleinste Fermat getal waarvan we niet weten of het priem is, is F_{22}, een getal van 1262612 cijfers. Verder onderzoek ligt nog open…

 

 

714 en 715

Geplaatst op door

Op 8 april 1974 verbeterde H. Aaron  het record van grootste aantal home runs tijdens 1 seizoen, dat op naam stond van de legendarische Babe Ruth, met 1 eenheid en bracht het op 715. Sindsdien noemt men (714,715) het Ruth-Aaron paar.

Maar wat is er dan zo speciaal aan dit paar?

  1. Als het het product berekenen dan vinden we dat 714.715=510510=2.3.5.7.11.13.17
    We zien dus dat dit het product is van de eerste 7 priemgetallen, genoteerd door P(7). We weten dat 1.2=P(1), 2.3=P(2), 5.6=2.3.5=P(3) en 14.15=210=2.3.5.7=P(4).  Na wat experimenteren vermoeden we dat het Ruth-Aaron paar grootste paar opeenvolgend getallen is waarvan het product ook het product is van de eerste k priemgetallen. Het bewijs hiervoor is echter nog niet gevonden… Door gebruik te maken van een computer heeft men wel nagegaan dat de enige waarden  voor k gelegen tussen 0 en 3050 waarvoor P(k) te schrijven is als een product van twee opeenvolgende getallen k=1,2,3,4,7 zijn.
  2. Elk getal kan op een unieke manier geschreven worden als het product van priemgetallen. Voor een getal x noteert men S(x) als som van de priemgetallen uit de ontbinding van x, rekening houdend met herhaalde priemgetallen. Enkele voorbeelden: 6=2.3, dus is S(6)=2+3=5. Verder is 24=2.2.2.3 en dus is S(24)=2+2+2+3=9. We definiëren nu een Ruth-Aaron paar als een paar van twee opeenvolgende getallen die dezelfde som van hun priemfactoren hebben. Hiermee veralgemenen we eigenlijk het begrip Ruth-Aaron paar. De eerste Ruth-Aaron paren zijn (5,6), (8,9), (15,16), (77,78), (125,126), (714,715). Ons oorspronkelijk Ruth-Aaron paar zit er dus ook bij. Dergelijke paren lijken eerder zeldzaam, maar men kan toch bewijzen dat er toch oneindig veel  zijn.