N x N is aftelbaar oneindig

Geplaatst op 13 april 2017 door admin

Om te bewijzen dat $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ aftelbaar oneindig is, moeten we een bijectie opstellen tussen $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ en $\mathbb{N}$ . We kunnen dit doen via de diagonaalmethode van Cantor :

De volgende tekening spreekt voor zich:

Met volgende formule kan je het rangnummer bepalen van een bepaald punt $(x,y)$ :

$f(x,y)=\dfrac{1}{2}((x+y)^2+2(x+y)+(-1)^{x-y})$

Het is wel moeilijker om met één natuurlijk getal z een koppel natuurlijke getallen te laten overeenkomen.

De diagonalen bevatten achtereenvolgens 1,2,3,… getallen, zodat de som $S_n$ van de eerste n natuurlijke getallen zal verschijnen op elke diagonaal ( de omcirkelde rangnummers) .
Aangezien z gelegen is tussen twee opeenvolgende waarden van $S_n$ , moet n gelijk zijn aan het aantal gehelen $n_0$ van de positieve wortel van de vierkantsvergelijking $n^2+n-2z=0$ .
Als $n_0$ even is, dan behoort $(x,y)$ tot een dalende diagonaal en is $x=z-f(0,n_0)=S_{n_0}$ en $y=n_0-x$ .
Als $n_0$ oneven is, dan behoort $(x,y)$ tot een stijgende diagonaal en is $y=z-f(n_0,0)=S_{n_0}$ en $x=n_0-y$ .

Neem bijvoorbeeld het getal z met rangnummer 32. De vierkantsvergelijking $n^2+n-64=0$ heeft bij benadering als oplossingen -8,52 en 7,52. Dus is $n_0=7$ . Het corresponderend punt in het vlak is $(3,4)$ .

Neem als tweede voorbeeld het getal z met rangnummer 38. De bijhorende vierkantsvergelijking $n^2+n-76=0$ heeft bij benadering als oplossingen -9,23 en 8,23 zodat $n_0=8$ . Het corresponderend punt in het vlak is $(2,6)$

Afstand en skalair product

Geplaatst op 3 april 2017 door admin

Om het begrip afstand te definiëren hebben we een metriek nodig. Dit kan je hier lezen. Een voorbeeld van een metriek in $\mathbb{R}^2$ is de Euclidische afstand, gedefinieerd door

$d(x,y)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Hiermee is een norm gedefinieerd via

$\Vert x\Vert =\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

en dan is

$d(x,y)=\Vert y-x\Vert$

In $\mathbb{R}^2$ is er ook een skalair product

$x.y=x_1x_2+y_1y_2$

Dit is een product met volgende eigenschappen:

$x.x \geq 0$ en $x.x=0 \Leftrightarrow x=0$ .
$x.y=y.x$
$x.(ry+sz)=r x.y +s x.z$

Het gegeven skalair product definieert dus de Euclidische metriek, via $\Vert x\Vert = \sqrtçx.x}$ . Maar dat is niet altijd zo. Er zijn metrieken waarmee geen skalair product is geassocieerd. Een voorbeeld is de Manhattan metriek

$d(x,y)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$

Er is geen skalair product dat hiermee correspondeert.

Normen die voldoen aan de parallellogram eigenschap kunnen een skalair product definiëren, andere niet:

$\Vert x+y \Vert +\Vert x-y \Vert=2(\Vert x \Vert+ \Vert y\Vert)$

Afstanden

Geplaatst op 19 maart 2017 door admin

We kennen allemaal het visueel evidente begrip afstand als ” de lengte van het deel van de rechte lijn tussen twee punten”, dat ontleend is aan de klassieke meetkunde. Daarbij bleef de term “rechte lijn” zelf ongedefinieerd of hoogstens werd er gezegd dat het de kortste weg was tussen twee punten, waarmee men in een cirkelredenering terecht kwam.

Bovendien is de afstand langs de rechte lijn niet altijd geschikt voor het oplossen van veel praktische en theoretische problemen.

Een transportfirma is bij het opstellen van een vervoersplan niets gebaat met de kennis van de afstanden in vogelvlucht tussen vertrek en aankomst, daar de vrachtwagens verplicht zijn het bestaande verkeersnet te volgen.
Een schip of vliegtuig is tijdens zijn reis verplicht de kromming van de aarde te volgen, daar het nu eenmaal niet mogelijk is in een rechte lijn door de aardkorst te boren.
Hoe zou je bijvoorbeeld de afstand tussen twee functies ( nodig bij het bestuderen van de convergentie van een rij van functies) kunnen definiëren?

In de wiskunde is een begrip afstand of metriek gedefinieerd als generalisatie van het gewone afstandsbegrip. Deze generalisatie is zo gekozen dat een aantal kenmerkende eigenschappen van het gewone afstandsbegrip behouden blijven.

Een afstand of metriek in een verzameling V is een afbeelding d die met twee elementen uit V een getal laat associëren die de volgende eigenschappen bezit:

De afstand is positief: $d(x,y) \geq 0$ .
x ligt even ver van y als y van x ( symmetrie ): $d(x,y)=d(y,x)$ .
Een omweg maken is steeds langer dan de rechtstreekse weg te nemen
( driehoeksongelijkheid ): $d(x,z) \leq d(x,z)+d(z,y)$
Iedere x ligt op een afstand 0 van zichzelf: $d(x,x)=0$
Het omgekeerde van vorige eigenschap: $d(x,y)=0 \leftrightarrow x=y$

Een paar voorbeelden in het vlak:

De Euclidische afstand of metriek, gegeven door $d(x,y)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ komt overeen met ons klassiek begrip afstand.
De Manhattan metriek,voor het eerst onderzocht aan het eind van de 19e eeuw door Hermann Minkowski, en wordt gegeven door $d(x,y)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$ De naam verwijst naar de roostervormige opzet van de meeste lanen en straten op het eiland Manhattan, zoals vastgelegd in een plan uit 1811. Dit rooster zorgt ervoor dat de kortste route die een voetganger of auto kan nemen om de afstand tussen twee punten in de stad te overbruggen een lengte heeft die gelijk is aan de afstand tussen twee punten in de Manhattan-metriek. In onderstaande tekening zijn de lijnen in rood, geel en blauw drie voorbeelden van de Manhattan-afstand tussen de twee zwarte, ronde punten. Zij zijn alle drie 12 eenheden lang. De groene lijn stelt de volgens de Euclidische afstand kortste route voor tussen de twee punten.
Een ander voorbeeld kan je ook vinden in de codetheorie , waar men de Hamming-afstand definieert door het aantal posities te tellen waar de twee binaire codes van elkaar verschillen

Het tovervierkant van Lo Shu

Geplaatst op 16 februari 2017 door admin

Een tovervierkant is een vierkantig rooster van getallen zodat de som van de elementen op elke rij, kolom en diagonaal hetzelfde is. Het oudste tovervierkant wordt toegeschreven aan Lo Shu en dateert van omstreeks 2200 voor onze tijdrekening. Hij was gekerfd in het schild van een schildpad in de Lo-rovier.

Of in matrixvorm :

Als we deze matrix L noemen , kunnen we ook L² en L³ uitrekenen:

$L^2 =\begin{pmatrix} 59&83&83\\83&59&83\\83&83&59\end{pmatrix}$

$L^3=\begin{pmatrix}1149&1029&1197\\1173&1125&1077\\1053&1221&1101\end{pmatrix}$

De matrix $L^2$ is symmetrisch en is een pseudo-tovervierkant ( de som van de elementen op elke rij en in elke kolom is dezelfde; de sommen van de diagonalen echter niet ).

De matrix $L^3$ is dan weer wel een tovervierkant, maar de symmetrie is verdwenen.

Wiskundig denken

Geplaatst op 1 februari 2017 door admin

Wiskundig denken is de kern en de kracht van wiskunde

Wat is nu dat wiskundig denken? De Nederlandse wiskundige P.Drijvers geeft volgende omschrijving:

Bedenken hoe je wiskundig gereedschap kan gebruiken om een probleem op te lossen.

Hoe? : hier bedoelen we de keuze van de gereedschappen die je gaat gebruiken, in welke volgorde je dat doet en onder welke voorwaarden ze zinvol kunnen gebruikt worden.
Wiskundig gereedschap? : dit moet breed worden opgevat. het kan heel specifiek en concreet zijn, zoals de formule van Pythagoras, maar ook theoretisch ( logisch redeneren, bewijzen), of algemeen van karakter ( het ontwikkelen van strategieën).
Gebruiken? : niet allen het toepassen van een bestaande, kant-en-klare methode, maar ook het ontwikkelen ervan, of het op maat maken van een bestaande methode voor een specifiek doel.
Probleem? : dit is niet zomaar een opgave, maar wel een vraag waar je geen kant-en-klare oplosmethode ter beschikking hebt

Je kan drie kernaspecten beschouwen: probleemoplossen, modelleren en abstraheren.

Wat voor iemand een probleem is, dus wat niet standaard is voor hem of haar, hangt af van voorkennis en ervaring. Wiskundig denken is dus relatief: wat voor de ene uitdagend en nieuw is, zal voor de andere routinematige reproductie zijn.

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Weetjes

N x N is aftelbaar oneindig

Afstand en skalair product

Afstanden

Het tovervierkant van Lo Shu

Wiskundig denken

Wiskundig denken is de kern en de kracht van wiskunde