Categorie archieven: Weetjes

Wiskunde moet mooi zijn

Geplaatst op door

Over schoonheid in de wiskunde. Uit: G.H.Hardy, A mathematicians’ apology

A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If this patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas ….. The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s, must be beautiful;  the ideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.

 

T

 

 

Gokken bij meerkeuzevragen

Geplaatst op door

Neem een test met 10 meerkeuzevragen, met vier alternatieven bij elke vraag. Bij een goed antwoord krijg je drie punten, voor een blanco nul punten en voor een fout antwoord gaat er een punt af. Veronderstel dat je van vier vragen het antwoord weet, dan moet je op een aantal van de overige vragen gokken om toch kans te maken om te slagen. Wat is dan je beste strategie?

Het maximum aantal punten dat kan toegekend worden is 30 en slagen betekent dus minstens 15 punten scoren. We noteren met b het aantal vragen dat je blanco laat, met g = 10 – 4 – b = 6 – b het aantal vragen waarop je gokt en met f het aantal vragen dat je fout gegokt hebt. je eindscore bedraagt dan:

    \[3.(10-b-f)+(-1)f=30-3b-4f\]

We berekenen naargelang het aantal vragen dat je gokt de kans op slagen:

  1. Veronderstel g = 1, dan is b = 5 en je eindscore is 15 – 4f en dit moet minstens 15 zijn. Hieruit volgt dat f nul moet zijn.  Je slaagkans is dus de kans op geen fout antwoord als je 1 keer gokt en dat is \frac{1}{4} of 25%.
  2. Veronderstel g = 2, dan is b = 4 en je voor je eindscore geldt 18 - 4f \geq 15. Ook hier moet dus f = 0. De slaagkans is de kans op 0 fouten bij twee keer gokken en dat is \Big(\frac{1}{4}\Big)^2 en dat is 6,25%.
  3. Veronderstel g = 3, dan is b = 3 en je voor je eindscore geldt 21 - 4f \geq 15. Hieruit volgt dat  f = 0 of f = 1.  De slaagkans is \Big(\frac{1}{4}\Big)^3+3\Big(\frac{1}{4}\Big)^2.\frac{3}{4}=0,15625 of 15,625%. Dit kan ook berekend worden via Binomcdf(3,\frac{3}{4},1).
  4. Veronderstel g = 4, dan is b = 2 en je voor je eindscore geldt 24 - 4f \geq 15. Hieruit volgt dat  f = 0 , f = 1 of f = 2. De slaagkans bedraagt Binomcdf(4,\frac{3}{4},2) =0,26171875 of 26,17%.
  5. Veronderstel g = 5, dan is b = 1 en je voor je eindscore geldt 27 - 4f \geq 15. Hieruit volgt dat  f = 0 , f = 1 ,f = 2 of f = 3. De slaagkans bedraagt Binomcdf(5,\frac{3}{4},3) =0,3671875of 36,72%.
  6. Veronderstel g = 6, dan is b = 0 en je voor je eindscore geldt 30 - 4f \geq 15. Hieruit volgt dat  f = 0 , f = 1 ,f = 2 of f = 3. De slaagkans bedraagt Binomcdf(6,\frac{3}{4},3) =0,16943 of 16,94%.

De beste strategie is één vraag blanco te laten en 5 keer te gokken. Dan heb je 36,72% kans om te slagen.

Type I en type II fouten bij hypothesetoetsen

Geplaatst op door

Een firma verkoopt dozen fruitsap met in de reclame de boodschap dat elke doos gemiddeld 10 gram suiker per 100 ml bevat.

Neem als uitgangspunt de hypothese dat het de bedoeling is van de verkoper om koopwaar met het juiste gehalte suiker te leveren. Het is aan te raden de geleverde partij te controleren, d.w.z. te toetsen aan de gestelde eisen. We formuleren de volgende hypothesen: H_0: \mu = 10 tegen H_1: \mu \neq 10

Het is mogelijk dat onze beslissingsregel de geleverde koopwaar afkeurt terwijl ze juist is. De fout die we dan begaan is type I-fout of een \alpha-fout. De verkoper loopt door deze beslissingsregel een risico \alpha dat een goede partij ten onrechte afgekeurd wordt. Vandaar dat een type -fout het risico van de verkoper is.

We houden onze beslissingsregel vast. De geleverde partij heeft echter een gemiddelde hoeveelheid suiker dat verschilt van 10 gram. Een steekproef uit deze slechte partij kan echter een waarde voor het steekproefgemiddelde geven dat toch in het aanvaardingsgebied ligt. Dit impliceert dat we de geleverde koopwaar aanvaarden terwijl ze verkeerd is. De fout die we dan begaan is een type II-fout of een \beta– fout. De koper loopt door deze beslissingsregel een risico \beta die slechte partij te aanvaarden. We spreken van het risico van de koper.

 

 

 

Giscorrectie

Geplaatst op door

Bij  een  test die bestaat uit meerkeuze vragen kent men gewoonlijk aan elk goed antwoord 1 punt toe en aan elk fout of blanco antwoord 0 punten.

 

Noemen we X de stochast die het aantal punten weergeeft bij het gissen van één vraag met 4 antwoord alternatieven ( waarvan er slecht 1 juist is).

De kansverdeling van X is \begin{array}{1|cc} x&0&1 \\ \hline P(X=x)&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \end{array}

Hieruit bekomen we de verwachtingswaarde E(x)= 0.\frac{3}{4}+1.\frac{1}{4}=0,25. Een student die blindelings gokt, heeft in dit evaluatiesysteem toch een positieve score. Om het gokken tegen te gaan zal men c punten aftrekken bij een fout antwoord. We bepalen de waarde van c zodat de student noch een positieve, noch een negatieve gemiddelde score zal hebben. Met andere woorden: E(x)=0.

De kansverdeling wordt nu: \begin{array}{1|cc} x&-c&1 \\ \hline P(X=x)&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \end{array} en dus is E(x)=0 \Longleftrightarrow -c.\frac{3}{4}+1.\frac{1}{4}=0 \Longleftrightarrow c=\frac{1}{3}. We trekken dus \frac{1}{3} punt af bij een fout antwoord.

We veralgemenen: bij vragen met n keuzemogelijkheden geven we dan 1 punt voor een goed antwoord en voor een blanco 0 punten. Voor een fout antwoord trekken we \frac{1}{n-1} punten af

De regel van Simpson

Geplaatst op door

Voor heel wat praktische problemen moet men een bepaalde integraal \int_a^b f(x)\ dx oplossen. De meest wiskundige manier is op zoek gaan naar een primitieve functie F(x) van f(x) en dan is \int_a^b f(x)\ dx=F(b)-F(a). Maar soms is het berekenen van een primitieve functie een zeer lastige of onmogelijke taak. Is het in die gevallen dan onmogelijk om de bepaalde integraal te berekenen?

 

Thomas Simpson heeft een regel neergeschreven om \int_a^b f(x)\ dx te benaderen:

  • Verdeel [a,b] in een even ,n , aantal stukken en stel  h=\frac{b-a}{n}.
  • Bereken de functie waarden f(a),f(a+h),f(a+2h),...,f(a+nh)=f(b).
  • Nu is \int_a^b f(x)\ dx \approx \frac{h}{3}\Big [ f(a)+f(b)+4\Big(f(a+h)+f(a+3h)+\cdots+f(a+(n-1)h\Big)+2\Big(f(a+2h)+f(a+4h)+\cdots+f(a+(n-2)h)\Big)\Big]

Simson bekwam zijn formule door de bepaalde integraal te interpreteren als een oppervlakte en het gebied onder de grafiek van y=f(x) over [a,b] te benaderen door de oppervlakte onder een parabool door de punten (a,f(a)),((m,f(m)) en (b,f(b)).

Voorbeeld: Bereken \int_1^5x\sqrt{x^2+4x}\ dx

Neem n=4, dan us h=1 en kunnen we de bepaalde integraal benaderen door \frac{1}{3}\Big( f(1)+4f(2)+2f(3)+4f(4)+f(5)\Big)\approx 60,498