Categorie archieven: Weetjes

Perfecte getallen

Geplaatst op door

Wiskundigen zijn vaak geboeid door speciale eigenschappen van getallen. Zo kennen we bijvoorbeeld perfecte getallen, dit zijn positieve getallen n waarvan de som van de delers ( genoteerd door \sigma(n), tweemaal het getal is.

Voorbeelden zijn :
\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6=12
\sigma(28)=1+2+4+7+14+28=56
Zo zijn ook 496 en 8128 perfect. Deze 4 voorbeelden zijn allen even. De enige gekende perfecte getallen zijn inderdaad even. Hieromtrent kennen we volgend resultaat:
Als 2^n-1 een priemgetal is , dan is a=2^{n-1}(2^n-1) perfect en elk even perfect getal is van die vorm.

Het is een open probleem of er ook oneven perfecte getallen bestaan.

Reeds in de tijd van  Pythagoras werden  perfecte getallen onderzocht. Perfecte getallen hadden in die tijd een religieuze betekenis. In de beginjaren van het christendom was er een theorie dat de getallen 6 en 28 door God gekozen waren als perfecte getallen: 6 is het aantal dagen waarin God de aarde had geschapen en 28 is het aantal dagen waarin de maan om de aarde draait. De heilige Augustinus (354-430) schreef: Zes is geen perfect getal omdat God de aarde in zes dagen geschapen heeft, maar God heeft de aarde in zes dagen geschapen omdat zes een perfect getal is.

Nicomachus van Gerasa vermeldde rond het jaar 100 in zijn boek Introductio Arithmeticae een aantal resultaten ( niet noodzakelijk waar) zoals: Het n-de perfecte getal heeft n cijfers; Alle perfecte getallen zijn even; Perfecte getallen eindigen afwisselend op een 6 of een 8; Er zijn oneindig veel perfecte getallen. Deze stellingen zijn in Europa eeuwenlang voor waar aangenomen. De Europeanen waren gedurende de vroege Middeleeuwen onbekend met het wiskundig onderzoek in de Arabische landen, onder andere dat van Ibn al–Haytham en van Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus. Deze laatste wiskundige stelde in het begin van de 13e eeuw een lijst op met tien perfecte getallen, waarvan de eerste zeven inderdaad juist zijn, maar deze lijst raakte pas eeuwen later in Europa bekend.

Een nieuwe algebra

Geplaatst op door

Een algebra is eigenlijk een verzameling uitgerust met één of meerdere bewerkingen. We kennen allemaal getallenverzamelingen met daarin een optelling en een vermenigvuldiging. Maar je kan ook een algebra definiëren in een verzameling zonder getallen. Neem bijvoorbeeld de verzameling punten in het vlak (a,b,c,…) en de bewerking a.b =c met c het midden van [a,b] en a.a=a.

  • Het is een binaire bewerking: met twee punten komt terug een punt overeen.
  • Deze bewerking is commutatief : a.b=b.a want het midden van [a,b] is hetzelfde als het midden van [b,a].
  • De bewerking is niet associatief: meestal is a.(b.c) niet gelijk aan (a.b).c. We kunnen de haakjes in uitdrukkingen van de vorm (a.b).c dus niet weglaten.
  • We kunnen ook vergelijking van de vorm a.x=b oplossen. We noteren de oplossing als \frac{b}{a}.
  • We moeten goed oppassen om rekenregels die we kennen uit de getallenleer, niet zomaar over te dragen naar deze nieuwe algebra. Zo is \frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d} maar is a.\frac{b}{c} niet gelijk aan \frac{a.b}{c}.

Rekenen in dergelijke wiskundige structuur is zeer boeiend en is onderdeel van de abstracte algebra waarin begrippen zoals groepen, ringen, velden, vectorruimten e.d. gebruikt worden om bepaalde ‘algebra’s’met zelfde eigenschappen samen te brengen.

 

Fermat priemgetallen en regelmatige veelhoeken

Geplaatst op door

De Franse wiskundige Pierre de Fermat( 1601-1665) dacht dat alle getallen van de vorm 2^{2^n} priemgetallen waren. En voor de eerste 5 waarden van n was dat ook zo:

\begin{array}{c|c} n& 2^{2^n} \\ \hline\\ 0 &3\\1&5\\2&17\\3&257\\4&65.537\end{array}

Later ontdekte Leonard Euler( 1707-1783) in 1732 dat het Fermat getal voor n = 5 ontbonden kon worden als  4.294.967.297 = 641 x 6.700.417. En hier zou het verhaal dan stoppen, ware er niet de geniale ontdekking van Carl Friedrich Gauss(1777-1855).

In 1794 vond Gauss dat een regelmatige veelhoek met p zijden (met p een priemgetal ) construeerbaar is met passer en liniaal als en slechts als p een Fermat priemgetal is, dus een priemgetal van de vorm 2^{2^n}. Als eerbetoon werd in Brauschweig, de thuisstad van Gauss,  een bronzen standbeeld opgericht waar hij staat op een regelmatige zeventien hoek.

Welke regelmatige veelhoeken zijn dan construeerbaar met passer en liniaal? Volgens Gauss’ resultaat zijn dat de gelijkzijdige driehoek, de regelmatige 5-hoek, de regelmatige 17-hoek, de regelmatige 257-hoek en de  regelmatige 65.537-hoek. We weten dat ook de regelmatige veelhoeken met 7,11,13,19,… zijden niet construeerbaar zijn omdat het wel priemen zijn, maar geen Fermat priemen. Verder zijn ook regelmatige veelhoeken met 4,8,16,32,.. en 6,12,24,48,… zijden construeerbaar omdat we met passer en liniaal een hoek in twee kunnen verdelen. En wat met de anderen? Is een regelmatige 15 hoek construeerbaar?  Het blijkt van wel, omdat \frac{1}{15}=\frac{2}{5}-\frac{1}{3} en dus kunnen we een cirkel in 15 gelijke delen verdelen.

Het was uiteindelijk Pierre Wantzel die in 1837 volgend algemeen reultaat bewees: Een regelmatige n-hoek is construeerbaar met passer en liniaal als en slechts als n het product is van een macht van 2 en een willekeurig aantal verschillende Fermat priemgetallen.

Dissectie van een veelhoek

Geplaatst op door

Kan je een veelhoek in stukjes knippen zodat je er een andere veelhoek mee kan bouwen door al de stukjes terug aan elkaar te plakken?  In onderstaand voorbeeld wordt een driehoek getransformeerd in een vierkant.

De stelling van  Wallace–Bolyai–Gerwien zegt dat dit mogelijk is als de twee veelhoeken dezelfde oppervlakte hebben. Het was Farkas Bolyai die het probleem als eerste formuleerde en gerwien bewees de stelling in 1833. Maar Wallace eigenlijk was het Wallace  die ze als eerste bewees in 1807.

Het probleem kan ook gesteld worden in drie dimensie voor veelvlakken en is alzo bekend als derde probleem van Hilbert. Het was Max Dehn die in 1900 bewees dat de stelling niet klopt voor veelvlakken.

rekenkundig en harmonisch gemiddelde in een trapezium

Geplaatst op door

De vraag die we willen behandelen in deze tekst luidt:

Construeer het rekenkundig gemiddelde ( RG) en het harmonisch gemiddelde (HG) van de twee evenwijdige zijden van een trapezium.

  • Her RG is vrij eenvoudig: construeer het lijnstuk door de middens van de opstaande zijden. Volgens de stelling van Thales is |EF|=\frac{1}{2}(|AB|+|CD|)
  • Voor het harmonisch gemiddelde construeren we het lijnstuk, evenwijdig aan de evenwijdige zijden, door het snijpunt van de twee diagonalen van het trapezium.
    Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken FDE en ADB, CEG en CAB, DEC en EAB volgt dat |FE|=|EG|. Construeer nu , door C, een evenwijdige aan AD. Noteer |AB|=a,|CD|=b en |FG|=x
    Nu is |EH|=b-\frac{1}{2}x en |HG|=x-b. De 3 concurrente rechten AC,IC en BC worden gesneden door 2 evenwijdige rechten, dus geldt volgens Thales dat \frac{|EH|}{|AI|}=\frac{|GH|}{|BI|} of \frac{b-\frac{1}{2}x}{b}=\frac{x-b}{a-b}. Hieruit volgt dat x=\frac{2ab}{a+b} en dit betekent dat |EF| het harmonisch gemiddelde is van de twee evenwijdige zijden van het trapezium.