Categorie archieven: Weetjes

Diabolo

Geplaatst op door

Een diabolo is een voorwerp waarmee men allerlei trucs kan uitvoeren. Het bestaat uit twee  komvormige delen die met hun bodem aan elkaar zijn verbonden. Dit verbindingsstuk is het steunpunt voor de diabolo. Bij een diabolo horen twee stokjes bij die met een touw zijn verbonden. Hiermee kan de diabolo aan het tollen worden gebracht, zodat hij in balans blijft, en in de lucht kan worden gegooid en opgevangen. Het jongleren met een diabolo is afkomstig uit China.

Hoe kan je nu dergelijke figuur wiskundig genereren? Neem de impliciete vergelijking in de onbekenden x,y en z:

    \[x^2=(y^2+z^2)^2\]

Het is duidelijk dat dit oppervlak de unie is van twee omwentelingsparaboloïden: x=\pm (y^2+z^2) die elkaar raken in de oorsprong. Het raakvlak is het verticale vlak x=0.

Bovenstaande tekening is gemaakt met het programma Surfer.

Hexomino’s

Geplaatst op door

In 1953 introduceerde Solomon W. Golomb, toen student aan de Harvard Universiteit, de term polyomino voor figuren die gevormd worden door eenheidsvierkanten samen te voegen. Omdat een domino bestaat uit twee aaneengesloten vierkanten, stelde Golomb voor figuren met drie vierkanten tromino’s te noemen. Die met vier vierkanten tetromino’s. En verder pentomino’s, hexomino’s, heptomino’s enz.

Hoeveel hexomino’s zijn er nu en hoeveel ervan kan je tot een kubus bouwen? Figuren die door een draaiing of een spiegeling op elkaar kunnen afgebeeld worden, beschouwen we als identiek.

  • De eenheidsvierkanten kunnen op verschillende manieren aaneengesmeed worden. Er is één monomino en één domino.
  • Om het aantal tromino’s (ook wel triomino’s genoemd) te bepalen, zoeken we uit hoe we van een domino een tromino kunnen maken. Je kan er rechts 1 toevoegen of er eentje bovenop zetten: er zijn dus 2 tromino’s
  • Bij de eerste tromino kan je nu een vierkantje bijvoegen rechts, links boven of midden boven. Bij de tweede tromino kan je dat rechts of links van het bovenste vierkantje doen. Zo bekom je 5  tetromino’s ( ook quatromino’s genoemd). Deze figuren kom je tegen bij het spel Tetris.
  • Van de blauwe tetromino kan je 3 pentomino’s ( of quintomino’s) maken. Van de oranje kan je dat op 7 manieren doen. Voor de paarse en de groen elk op 1 manier . Je vindt dus 12 pentomino’s.
  • Vertrekkend van de pentomino’s ( eerst de bovenste rij van links naar rechts) kan je dan 6 + 4 +11 + 9 + 6 + 9  + 9 + 10 + 5 + 2 +  10 + 5 = 86 figuren maken. Maar sommige zijn hetzelfde, ze kunnen door een rotatie of spiegeling op elkaar worden afgebeeld. er blijven uiteindelijk 35 hexomino’s over :
  • Slechts 11 daarvan kunnen een kubus vormen:

7 bruggen van Koningsbergen

Geplaatst op door

De grote wis- en natuurkundige Leonhard Euler (1707-1783) publiceerde
in 1736 het zogenaamde Koningsberger bruggenprobleem. De stad Koningsbergen, die sinds 1945 Kaliningrad heet, ligt aan de oevers van en op twee eilanden in de rivier de Pregel. De oevers en de eilanden waren in Eulers tijd verbonden door zeven bruggen. De Koningsbergers waren gewend ’s zondags een lange wandeling door de stad te maken en Euler vroeg zich nu af of hij  een wandeling  zou kunnen ontwerpen, waarbij elk der bruggen juist eenmaal zou gepasserd worden.

We vereenvoudigen de plattegrond van Koningsbergen door elk der vier stadsdelen A, B, C en D door een punt voor te stellen en elk der zeven bruggen door een lijn. Een dergelijke figuur noemt men een graaf.  De  graaf in ons probleem heeft vier hoekpunten en zeven kanten. We kunnen het bruggenprobleem nu zo formuleren: Is het mogelijk de graaf zo te doorlopen, dat daarbij elk der kanten slechts éénmaal gepasseerd wordt? Beginnen we bijv. bij het hoekpunt A, dan moet daar een ,,uitgaande kant”, maar ook een ,,inkomende kant” zijn. Telkens als we via een der kanten in een hoekpunt aankomen, moet daar weer behalve de ,,inkomende” ook een ,,uitgaande kant” zijn. Hieruit blijkt, dat als we de graaf zo willen doorlopen, dat we elk der kanten slechts eenmaal gebruiken, er bij elk hoekpunt een even aantal kanten moeten samenkomen. Aangezien dat niet het geval is, is het onmogelijk een wandeling door Koningsbergen te organiseren, waarbij elk der bruggen slechts éénmaal doorlopen wordt.

Geschiedenis van 0

Geplaatst op door

Wat zou de wereld zijn zonder het getal 0? Wat was dan de uitkomst van de bewerking 5 – 5? En hoe hadden we dan onderscheid gemaakt tussen één, tien, honderd en duizend? Zouden er dan computers en internet zijn? Alle digitale gegevens worden immers opgebouwd uit eentjes en nulletjes.

Een soort nul  werd al toegepast door de Babyloniërs rond 450 v.Chr. Zij duidden een lege plaats in een rij met cijfers aan met twee wiggen. Het getal nul kenden ze echter niet.  Ook de Maya’s hadden de nul ontdekt, vanuit de vrees dat er ooit een einde zou komen aan de tijd. De Egyptenaren, Grieken en Romeinen gingen aan het cijfer voorbij, met als gevolg dat de christelijke tijdskalender niet zoiets heeft als het jaar nul. Wij beginnen immers met het jaar 1 (volgend op 1 voor Christus).

De oudst bekende tekst die een decimaal positiestelsel gebruikte, inclusief de nul, is een tekst uit India genaamd Lokavibhaaga, uit 458 n.Chr. Het eerst bekende gebruik van een speciale teken voor decimale cijfers met in de grond het uiterlijk van het moderne cijfer, een kleine cirkel, is te vinden op een stenen inscriptie gevonden bij de Chaturbhujatempel in Gwalior in India, daterend uit het jaar 876. 

Door het gebruik van de Arabisch-Indische cijfers werd het plotseling mogelijk om hele grote getallen op te schrijven. Met de Romeinse cijfers kon dat niet: om van één naar duizend te tellen waren al zeven tekens nodig en bij hogere getallen nog meer. In het Arabisch-Indische maximaal tien. Toch was Europa het getal nooit gaan gebruiken als het aan de Romeinen had gelegen. De Romeinse keizers wilden namelijk vasthouden aan hun eigen cijfers. Zij boden daarom fel weerstand tegen het cijfersysteem dat overwaaide uit het Midden-Oosten. Dat de 0 toch in Europa belandde, is te danken aan de Moren. Zij veroverden in de achtste eeuw na christus grote delen van het huidige Spanje en Portugal en brachten de Arabisch-Indische cijfers (0 tot 9) met zich mee. Verschillende wetenschappers, onder wie de Italiaan Fibonacci in de twaalfde eeuw, droegen vervolgens bij aan de populariteit van het cijfersysteem. 

 

Fractaal ontsnappingsspel

Geplaatst op door
Beantwoorden

Peter is een geheim agent die gevangen gehouden wordt door terroristen Hij heeft een ontsnappingsplan: volg de kwadratische vergelijking z_{n+1}=z_n^2+c, waarbij de vloer van zijn kamer als het complexe vlak wordt bekeken en waar hij in de oorsprong staat.  Peter kent echter de constante c niet. Voor welke waarden van c heeft hij een kans op ontsnapping?

                                                 

Proberen we eerst c = 0. Maar dan wordt, voor elke n, z_n=0 en blijft hij steeds op dezelfde plaats. Als we andere waarden van c proberen, zijn er 3 mogelijkheden:

  1. De rij z_n convergeert naar een vast punt.
  2. De rij z_n wordt herhaald in een eindige cyclus van punten en wordt een periodieke rij.
  3. De rij z_n divergeert weg van de oorsprong en Peter heeft kans op ontsnapping.

Dit verhaal is eigenlijk het verhaal van de Mandelbrot verzameling, namelijk de verzameling van alle complexe getallen c waarvoor de baan van z_{n+1 }=z_n^2+c begrensd is ( dus niet divergeert) met startpunt (0,0).