Categorie archieven: Weetjes

Een Armstrong getal

Geplaatst op door

Een Armstrong getal is een getal dat gelijk is aan de som van zijn cijfers elk verheven tot een macht gelijk aan het aantal cijfers van het getal. Zo zijn 153 en 1634 Armstrong of narcistische getallen want:

    \[153=1^3+5^3+3^3\]

 

    \[1634=1^4+6^4+3^4+4^4\]

Enkele merkwaardigheden:

  • De getallen 0 tot en met 9 zijn Armstrong getallen.
  • Het aantal Armstrong getallen is eindig. Je kan ze dus gemakkelijk met een computerprogramma allemaal laten berekenen. Zo zijn er slechts 88 Armstrong getallen.
  • Je kan dit ook definiëren met getallen in een andere basis. Zo is 122 een Armstrong getal in basis 3, want 122=1.3^2+2.3+2=17 in ons tiendelig stelsel en 1^3+2^3+2^3=1+8+8=17. Je kan gemakkelijk nagaan dat 0, 1, 2, 12, 22, 122 de enige Armstrong getallen zijn in basis 3.
  • De naam komt van de Amerikaanse leraar Michael Armstrong die deze getallen ‘uitvond’ als programmeer opgave.

Waar ligt de horizon

Geplaatst op door

Als we kijken naar de horizon, volgt onze blik een richting die raakt aan de aardbol.

De raaklijn staat loodrecht op de straal in het raakpunt. De afstand A van ons oog naar de horizon is dus gemakkelijk te berekenen via de stelling van Pythagoras: A^2=(R+h)^2-R^2. Hieruit volgt dat : 

    \[A=\sqrt{h^2+2Rh}\]

De aardstraal is ongeveer 6371 km. Omdat de ooghoogte h verwaarloosbaar is ten opzichte van R, kunnen we volgende benadering geven:

    \[A\approx 112,88 \sqrt{h}\]

Voor h=1,75m vinden we A=4,7 km.

De Möbius band

Geplaatst op door

 

Laten we het eens hebben over deze ‘rare’ figuur.

Neem  een rechthoekige strook papier:

Door de uiteinden aan een te plakken ( uiteinde A aan uiteinde A) krijgen we een cilinder:

Deze cilinder heeft twee randen: een bovenrand en een onderrand en verder een binnen oppervlak en een buiten oppervlak. Deze worden als aparte objecten bekeken ( zie stippellijn en volle lijn). Van de binnenzijde kom je naar de buitenzijde via een rand.

Je kan de strook echter ook op een andere manier aan elkaar lijmen ( uiteinde A aan uiteinde B):

Er is nu geen boven of onderkant. Deze figuur heeft maar 1 kant en 1 zijde. We noemen deze figuur de Möbiusband naar de Duitse wiskundige August Möbius(1790-1868).

Het bestuderen van dergelijke figuren maakt deel uit van de topologie, een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen  die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). Anders dan de meetkunde, houdt de topologie zich niet bezig met metrische eigenschappen zoals de afstand tussen punten, maar met eigenschappen die beschrijven hoe een ruimte is samengesteld, zoals samenhang en oriëntatie.

 

Stemparadox

Geplaatst op door

In het zicht van de volgende verkiezingen, even wat uitleg over de stemparadox. De paradox duidt een situatie aan bij een stemming waarbij er geen manier bestaat om met de individuele voorkeuren een collectieve uitkomst te bepalen. Veronderstel de volgende voorkeuren bij 3 kiezers (I,II en III):

 1ste keus 2de keus  3de keus
I Bart Meyrem Wouter
II Wouter Bart Meyrem
III Meyrem Wouter Bart

Stel dat onze drie kiezers eerst moeten kiezen tussen Bart en Meyrem. Dan wint Bart door de stem van kiezers I en II. Maar als het vervolgens in de tweede ronde tussen Bart en Wouter gaat, dan wint Wouter door de stem van kiezers II en III. Nochtans haalt Meyrem het duidelijk van Wouter dankzij kiezers I en III… Ook voor de andere combinaties beland je in een lus. Nochtans heeft elk van de drie kiezers een duidelijke en consistente voorkeur. De stemparadox illustreert daarmee de relativiteit van sommige democratische beslissingen.

Deze paradox wordt ook wel de paradox van Condorcet genoemd en werd door de markies Nicolas de Condorcet(1743-1794)  geformuleerd aan het einde van de 18de eeuw.