Categorie archieven: Weetjes

De spiraal van Theodorus

Geplaatst op door

De spiraal van Theodorus wordt opgebouwd uit een reeks rechthoekige driehoeken. Het begint met een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de beide rechthoekszijden lengte 1 hebben. Vervolgens wordt een nieuwe rechthoekige driehoek toegevoegd, waarbij één rechthoekszijde de vorige schuine zijde is en de andere rechthoekszijde terug lengte 1 heeft. Dit proces wordt herhaald. De figuur die zo ontstaat noemt men de spiraal van Theodorus, genoemd naar de Griekse wiskundige Theodorus van Cyrene die leefde in de 5de eeuw voor Christus.

Hij hield op bij de driehoek met hypotenusa \sqrt{17} , vermoedelijk omdat dat de laatste is die niet een vorige driehoek overlapt.

Het is duidelijk dat via de stellig van Pythagoras  de lengten van de  schuine zijden van deze driehoeken de vierkantswortels zijn van opeenvolgende natuurlijke getallen. Vandaar dat men deze spiraal ook wel eens wortelspiraal noemt.

Dubbel Latijns vierkant

Geplaatst op door

Een  n x n Latijns vierkant is een vierkant matrix waarbij elk element slechts 1 keer voorkomt per rij en per kolom.

 

 

 

 

 

 

Een dubbel Latijns vierkant is een tabel voorstelling van een product van twee verzamelingen A en B waarbij elk koppel slechts eenmaal voorkomt; geen enkel element van A komt meer dan 1 keer voor in 1 rij of 1 kolom, zo ook voor de elementen van B.

 

 

 

Kettingwortels

Geplaatst op door

Een uitdrukking zoals

    \[x=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}\]

wordt een oneindige kettingwortel genoemd.

Als we beide leden kwadrateren komt er: 

    \[x^2=a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}}\]

of nóg x^2=a+x. De positieve oplossing van deze vierkantsvergelijking is x=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1+4a}). 

Stel hierin bijvoorbeeld a=1, dan bekomen we:

    \[\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}\]

In het bijzonder ontstaat er een natuurlijk getal indien 1+4a een volkomen kwadraat is. Een paar voorbeelden: 

2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}

3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}

4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+...}}}}

 

Julia fractaal

Geplaatst op door

Neem de functie f(x)=x^2+c en neem een willekeurige startwaarde x_1. Bereken de functiewaarde van x_0 en noem die x_1. Bereken vervolgens de functiewaarde van x_1 en noem die x_2. We verkrijgen zo een rij getallen

    \[x_{n+1}=f(x_n)\]

Gaston Julia ( 1893-1978) publiceerde in 1919 zijn boek Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles waarin hij het iteratief gedrag van deze functie(s) onderzocht.

We bestuderen nu

de relatie z_{n+1}=f(z_n) in het complexe vlak. Als de rij z_0,z_1,z_2,... begrensd is, dan gaan we de startwaarde z_0 plotten. De verzameling punten in het complexe vlak waarvoor de rij begrensd is noemen we de Julia verzameling horend bij c.

Er zijn op basis hiervan twee verzamelingen te construeren: de verzameling van de punten z0 waarvoor het iteratieve proces begrensd is (de Julia-set bij C) en  de verzameling van de punten z0 waarvoor de verzameling niet-begrensd is. De rand van het “begrensdheidsgebied” wordt een “fractaal” genoemd, de Julia-fractaal bij c.

Dit levert zeer mooie figuren :

Of de san Marco fractaal en het dendriet…