Categorie archieven: Sangaku’s

Sangaku 8

Geplaatst op 11 februari 2022 door admin

Antwoord

• De opdracht kan zijn de straal te berekenen van de kleine cirkels.
• Noem r de straal van een kleine cirkel
• 
  
• Gebruik van Pythagoras geeft : r=1 of
• r = 1 kan natuurlijk niet, dus de straal van de kleine cirkel is

Sangaku 7

Geplaatst op 28 januari 2022 door admin

Antwoord

• De opdracht is de oppervlakte van de groene driehoek te zoeken.
• Verdeel het onderste zijde van het vierkant in 2 stukken, van links naar rechts: x en 8 – x
• Door 2 maal gebruik te maken van de eigenschap dat de raaklijn stukken getrokken vanuit een punt buiten de cirkel aan die cirkel even lang zijn, weten we dat de schuine zijde van de groene driehoek gelijk is aan x + 8.
• De groene driehoek is rechthoekig en dus kunnen we Pythagoras toepassen :

     

• Hieruit volgt dat x = 2.
• De oppervlakte van de groene driehoek is dan 24 oppervlakte eenheden.

 

 

 

Sangaku 6

Geplaatst op 27 februari 2021 door admin

Antwoord

• We zien een regelmatige zeshoek. Veronderstel dat de lengte van een zijde gelijk is aan 1. Zoek de afstand van A tot H.
• We berekenen eerst door gebruik te maken van de cosinusregel in driehoek AGF ( gelijkbenige driehoek met opstaande zijden gelijk aan 1 en een tophoek van . We vinden : .
• We berekenen  nu in driehoek FEH. weer de cosinusregel : .  Hieruit volgt: .
• Tenslotte berekenen we in driehoek AHF. Cosinusregel met zijden en en ingesloten hoek . Dit geeft: .

Sangaku 5

Geplaatst op 4 februari 2021 door admin

Deze sangaku werd beschreven op een tablet van de Miyagi Prefecture uit 1912

 

Antwoord

• We gaan op zoek naar de lengte van de schuine zijde van de groene rechthoekige driehoeken. Noteer de zijde van de regelmatige vijfhoek  door a.
• We leggen volgende notatie vast:
• De scherpe hoek van de groene driehoek, die grenst aan de  vijfhoek is (de helft van het supplement van de hoek van een vijfhoek, en die is ).
• Driehoek is gelijkbenig en dus zijn de basishoeken elk . Volgens de cosinusregel is
• Hieruit volgt dat .
• In driehoek is . Samen met vorig resultaat geeft dit dat .
• In driehoek is .
• Tenslotte, in driehoek is . 
• Hierin kunnen we c invullen en krijgen we, omdat :

     

Sangaku 4

Geplaatst op 20 januari 2021 door admin

Antwoord

• De groene oppervlakte is gelijk aan de rode oppervlakte.
• We duiden volgende gebieden aan en noteren de schuine zijde van de gele rechthoekige driehoek a en de rechthoekszijden b en c:
• Te bewijzen is dat I + V = III
• De stellig van Pythagoras zegt: .
• Na deling door 8 en vermenigvuldiging met geeft dit:

     

• Vertaald naar oppervlaktes van halve cirkels geeft dit : II + III + IV = I +II +IV +V of na vereenvoudiging: I + V = III
• Deze figuur noemt men ook wel eens de maantjes van Hippocrates. Ze wordt toegeschreven aan de Griekse wiskundige Hippocrates van Chios (rond 430 voor Christus).