Wiskunde is leuk

Sangaku 14

Geplaatst op 2 augustus 2023 door admin

Antwoord

Gegeven de zijde a van de gegeven vijfhoek, bereken de straal van de kleine cirkel .
Een hoek van een regelmatige vijfhoek meet $108^\circ$ .
Dan is $|TA|=\frac{1}{2}a\cos 54^\circ$ .
Nu is $|TF|=\frac{1}{2}a\cos 54^\circ -\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}a(\cos 54^\circ-1)$

Sangaku 13

Geplaatst op 29 juni 2023 door admin

Antwoord

We zoeken de vergelijking van de groene cirkel , met middelpunt de oorsprong en straal r: $x^2+y^2=r^2$ .
$f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$ is de vergelijking van de bovenste halve cirkel
De cirkel raakt aan de rode kromme g(x) in P(x,y) als en slechts als $f(x)=g(x)$ en $f'(x)=g'(x)$ .
De eerste betrekking betekent dat $x+\sqrt{1}{x}=\sqrt{r^2+x^2}$
De tweede betrekking geeft: $1-\frac{1}{x^2}=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}$
Hieruit volgt dat $1-\frac{1}{x^2}=-\frac{x^2}{x^2+1}$ .
Uitrekenen geeft $x=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ . En bijgevolg is $y=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+\sqrt[4]{2}$ .
Nu is $r^2=x^2+y^2$ , dus is $r^2=2+2\sqrt{2}$ .
De vergelijking van de groene cirkel is:
$x^2+y^2=2+2\sqrt{2}$

Sangaku 12

Geplaatst op 18 januari 2023 door admin

Antwoord

We veronderstellen dat hier een regelmatige zevenhoek getekend staat. Dus er gaat een cirkel door de zeven punten
We zoeken naar een verband tussen a, b en c
Beschouw de koordenvierhoek ACDE
Daarin zijn $|AD|=|AE|=c$ , $|AC|=|CE|=b$ en $|CD|=|CE|=a$ .
Gebruiken we de stelling van Ptolemaeus in deze vierhoek: het product van de diagonalen is de som van de producten van de overstaande zijden:
$bc=ab+ac$
Delen door $abc$ geeft uiteindelijk :
$\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Sangaku 10

Geplaatst op 16 december 2022 door admin

antwoord

Gevraagd wordt de totale oppervlakte vanher trapezium te berekenen.
De driehoeken met gegeven oppervlakten 32 en 50 zijn gelijkvormig. Hun oppervlakten verhouden zich als het kwadraat van de gelijkvormigheidsfactor. Bijgevolg is de gelijkvorrmgheidsfactor
$r=\frac{4}{5}$
Noteer dan $|AE|=4s$ en $|EC|=5s$ . Analoog $|DE|=4t$ en $|EB|=5t$ .
De 4 hoeken in E hebben allemaal eenzelfde sinus als overstaande hoeken of supplementaire hoeken. Noteer deze sinus door x.
Om de oppervlakte van een driehoek te berekenen, gebruiken we de formule: de helft van het product van twee zijden , vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek.
Oppervlakte ADE= $\frac{1}{2}(4s*4t*x)=32$ . Dus is $stx=4$ .
De oppervlakte van AEB= $\frac{1}{2}(4s*5t*x)=10*stx=40$ Analoog is ook de oppervlakte van driehoek DEC gelijk aan 40.
De totale oppervlakte is dan 32 + 50 + 40 + 40 = 162.

Sangaku 9

Geplaatst op 17 juli 2022 door admin

Spoiler

We zoeken de verhouding tussen de rode en blauwe oppervlakte.

Noem de straal van de rode cirkels r en die van de blauwe cirkel r’.
De schuine zijde van de getekende rechthoekige driehoek kan je berekenen via de stelling van Pythagoras: $\sqrt{(2r)^2+(2r)^2}=2\sqrt{2}r$ .
Maar dan is $2r+2r'=2\sqrt{2}r$ . Of $r'=r(\sqrt{2}-1)$ .
De gezochte verhouding is dan $\frac{3\pi r^2}{\pi r^2(\sqrt{2}-1)^2}=9+6\sqrt{2}$ .