Categorie archieven: Rijen en reeksen

Meetkundige rij en reeks

Geplaatst op door

Een meetkundige rij (MR) u_n  is een rij van een getallen zodat het quotiënt van twee opeenvolgende termen van die rij constant is. Deze constante noemt men de reden
(ratio) r van de rij

  • De algemene term van de rij is : u_n=u_1.r^n
  • Een recursie voorschrift : u_n=u_{n-1}.r
  • De som van n termen van een MR wordt gegeven door

        \[S_n=u_1.\dfrac{1-r^n}{1-r}\]

  • Een meetkundige reeks \sum_{i=1}^{\infty}u_i convergeert als |r|<1. In dat geval is de som van de reeks gelijk aan

        \[S=\dfrac{u_1 }{1-r}\]

Stelling van Dirichlet voor rekenkundige rijen

Geplaatst op door

De Stelling van Dirichlet over rekenkundige rijen, ook bekend onder de naam Priemgetallenstelling van Dirichlet (Duits wiskundige, 1805-1859), is een stelling uit de getaltheorie die handelt over het voorkomen van priemgetallen in rekenkundige rijen.

De stelling luidt dat, als a en b onderling ondeelbaar zijn, dus hun grootste gemene deler gelijk is aan 1, de rij

{\displaystyle a,\ a+b,\ a+2b,\ a+3b,\ a+4b,\ \dots }

oneindig veel priemgetallen bevat. 

De stelling is een veralgemening van een bewering door Euler dat elke rekenkundige rij die met 1 begint oneindig veel priemgetallen bevat. De huidige vorm werd geformuleerd door Legendre en in 1837 bewezen door Johann Dirichlet.

De wiskundewereld heeft zich eigenlijk altijd al beziggehouden met het zoeken naar formules van rijen die oneindig veel priemgetallen bevatten.

De stelling van Erdös en Szekeres

Geplaatst op door

Gegeven is een rij van n^2+1 verschillende getallen. Hieruit kan je zeker ofwel een momotoon dalende ofwel een monotoon stijgende deelrij van n+1 elementen kiezen.

erdos

 

 

szekeres

 

 

 

 

 

 

 

Bekijken we een eenvoudig voorbeeld met n=3. We hebben dus een rij van 10 verschillende getallen en we moeten een monotoon dalende of monotoon stijgende deelrij vinden van 4 elementen.  In 2,6,13,4,8,7,3,50,25,10 zit de deelrij 2,6,8,50 die monotoon stijgend is. Met een rij van 9 elementen lukt het niet om een monotoon dalende of monotoon stijgende deelrij te vinden van 4 elementen. Neem bijvoorbeeld 7,8,9,4,5,6,1,2,3.

Als we de positie van een element in de rij als x-coördinaat en het element van de rij als y-coördinaat gebruiken kunnen we aan de stelling een meetkundige interpretatie geven: zo er is bijvoorbeeld een pad met 4 stijgende verbindingslijnen te vinden bij 17 gegeven punten:

kerstboom018

 

 

 

Rekenkundige rijen

Geplaatst op door

Een rekenkundige rij (RR) u_n  is een rij van getallen zodat het verschil van twee opeenvolgende termen van die rij constant is. Deze constante noemt men het verschil v van de rij.

  • De algemene term van de rij is u_n=u_1+(n-1)v
  • De som van n termen van een RR wordt gegeven door :
    u_1+u_2+\cdots+u_n=\dfrac{u_1+u_n}{2} .n
  • Meer speciaal is 1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}
  • Ook is 1+3+5+...+(2n-1)=n^2