Antwoord

$x=10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+2.10^{n+1}+\cdots+2.10+5$ .

De termen met een factor 2 splitsen we op en we schrijven 5 als 1+1+3.

We vinden dan
$x=(10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+10^{n+1}+\cdots+10+1)+(10^{n+1}+\cdots+10+1)+3$ .

Gebruiken we nu de partiële som formule voor de termen van een meetkundige rij: $x=\dfrac{10^{2n+2}-1}{9}+\dfrac{10^{n+2}-1}{9}+3$

We brengen op gelijke noemer: $x=\dfrac{10^{2n+2}+10.10^{n+1}+25}{9}=\Big(\dfrac{10^{n+1}+5}{3}\Big)^2$ .

Dan is $\sqrt{x}=\dfrac{10^{n+1}+5}{3}$ .

Hieruit volgt dat $\sqrt{x} =\dfrac{1 \overbrace{0\cdots0}^{n+1}+5}{3}=\dfrac{ \overbrace{9\cdots9}^{n}0+15}{3}$ .

Uiteindelijk vinden we dat de vierkantswortel van x gelijk is aan

$\overbrace{3\cdots3}^n5$

Antwoord

We kunnen voor $k=1,2,...,10$ de laatste twee cijfers berekenen van $9^k$ . We vinden $9^{10}=3486784401$ en eindigt dus op $01$ .

Als $(9^{10})^n$ eindigt op 01, dan zal ook $(9^{10})^{n+1}$ eindigen op 01, want $(9^{10})^{n+1}=(9^{10})^n.9^{10}=(\cdots 01).(\cdots 01)=(\cdots 01)$ .

Door inductie hebben we dus bewezen dat elke macht van $9^ {10}$ eindigt op 01.

Dan is $a_2=9^{2018}=(9^{10})^{201}.9^8=(\cdots01).43046721$ en dus eindigt $a_2$ op 21.

Verder is $a_3=9^{\cdots 21}=(9^{10})^{\cdots 2}.9^1=(\cdots 01).9=\cdots 09$ . Bijgevolg eindigt $a_3$ op 09.

Nu is $a_4=9^{\cdots 09}=(9^{10})^{\cdots 0}.9^9=(\cdots 01).387420489=\cdots 89$ .

Het is duidelijk dat alle verdere termen van de rij op 89 zullen eindigen.

Dus $a_{2018}$ eindigt op 89.

Antwoord

Omdat a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, weten we dat elke zijde kleiner is dan de som van de twee andere zijden. Dus bijvoorbeeld $a<b+c$

Dan is $\frac{a}{b+c}=\frac{2a}{2(b+c)}=\frac{2a}{(b+c)+(b+c)}$ .

Door toepassing van de driehoeksongelijkheid op het eerste deel van de noemer vinden we dat

$\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}$

Op analoge wijze vinden we dat $\frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c}$ en $\frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}$ .

Alles samenvoegen geeft

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

Toon aan dat volgende veeltermfunctie nooit de getalwaarde 33 aanneemt voor willekeurige gehele waarden van x en y.

$f(x)=x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5$

Antwoord

We moeten bewijzen dat de vergelijking
$x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5 =33$

geen oplossingen heeft voor gehele waarden van x en y. We stellen onmiddellijk vast dat x en y zeker verschillend van nul moeten zijn.
Er bestaan geen algemene methoden om een vijfde graads vergelijking op te lossen. We zouden eventueel $x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5 -33$ kunnen proberen te ontbinden in factoren om zo bovenstaande vergelijking op te lossen. Maar dit lukt niet.
Maar de uitdrukking $x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5$ kunnen we wel ontbinden als
$(x-2y)(x-y)(x+y)(x+2y)(x+3y)$
Het probleem wordt dus herleid tot : bewijs dat $(x-2y)(x-y)(x+y)(x+2y)(x+3y)=33$ geen oplossingen heeft voor gehele waarden van x en y.
Nu heeft 33 als delers $\pm1, \pm 3,\pm 11,\pm 33$ . We kunnen 33 dus hoogstens schrijven als het product van 4 verschillende gehele getallen ( vier positieve ofwel 2 negatieve en 2 positieve). Omdat x en y geheel moeten zijn is het linkerlid van vorige vergelijking steeds het product van 5 verschillende gehele getallen.
Bijgevolg heeft de vorige vergelijking geen oplossingen voor gehele waarden van x en y.

Bereken de zijde van het vierkant als je volgende gegevens hebt :

Antwoord

Je hebt 3 inlichtingen, dus als je 3 onbekenden kiest, kan je via een stelsel het probleem misschien oplossen.

Via Pythagoras kunnen we volgende drie vergelijkingen opschrijven:
$x^2+y^2=9\\ y^2+(z-x)^2=25\\x^2+(z-y)^2=49$

Uitgerekend geeft dit :
$x^2+y^2=9\\x^2+y^2+z^2-2xz=25\\x^2+y^2+z^2-2yz=49$

Uit (1) en (2) volgt $z^2-2xz=16$ of $x=\dfrac{z^2-16}{2z}$

Uit (1) en (3) volgt $z^2-2yz=40$ of $y=\dfrac{z^2-40}{2z}$

Vullen we nu $x$ en $y$ in bij $x^2+y^2=9$ , dan vinden we dat $(z^2-58)(z^2-16)=0$ .

Hieruit volgt dat de zijde van het vierkant gelijk is aan 4 of $\sqrt{ 58}$ . Het is duidelijk dat $z=4$ geen goede oplossing is.

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Opgaven

Opgave 10

Bereken de vierkantswortel van x met

$x=\underbrace{1\cdots 1}_n\underbrace{2\cdots 2}_{n+1} 5$

Antwoord

Opgave 9

Definieer $a_1=2018$ en $a_{n+1}=9^{a_n}$ voor n=1,2,…
Bepaal de laatste twee cijfers van $a_{2018}$ .

Antwoord

Opgave 8

Als a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, dan geldt

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<2$

Antwoord

Opgave 7

Toon aan dat volgende veeltermfunctie nooit de getalwaarde 33 aanneemt voor willekeurige gehele waarden van x en y.

$f(x)=x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5$

Antwoord

Opgave 6

Bereken de zijde van het vierkant als je volgende gegevens hebt :

Antwoord

Bereken de vierkantswortel van x met

Antwoord

Definieer en voor n=1,2,… Bepaal de laatste twee cijfers van .

Antwoord

Als a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, dan geldt

Antwoord

Toon aan dat volgende veeltermfunctie nooit de getalwaarde 33 aanneemt voor willekeurige gehele waarden van x en y.

Antwoord

Bereken de zijde van het vierkant als je volgende gegevens hebt : Antwoord

Bereken de vierkantswortel van x met

$x=\underbrace{1\cdots 1}_n\underbrace{2\cdots 2}_{n+1} 5$

Definieer $a_1=2018$ en $a_{n+1}=9^{a_n}$ voor n=1,2,…
Bepaal de laatste twee cijfers van $a_{2018}$ .

Als a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, dan geldt

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<2$

Toon aan dat volgende veeltermfunctie nooit de getalwaarde 33 aanneemt voor willekeurige gehele waarden van x en y.

$f(x)=x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5$

Bereken de zijde van het vierkant als je volgende gegevens hebt :

Antwoord