Opgave 15

Geplaatst op 20 maart 2018 door admin

Zoek het algemeen voorschrift van de rij $a_{n+1}-2a_n=F_n$ met $a_0=0$ , waarbij $F_n$ de rij van Fibonacci is met $F_0=0,F_1=1,F_2=1,...$

Antwoord

Het rechterlid van de formule is niet nul, zodat we geen lineaire recurrente rij krijgen. Maar dat kunnen we verhelpen door ook te schrijven dat $a_{n+2}-2a_{n+1}=F_{n+1}$ en $a_{n+3}-2a_{n+2}=F_{n+2}$ .
De laatste vergelijking verminderd met de vorige en de opgave geeft, gebruikmakend van de eigenschappen van de rij van Fibonacci, dat $a_{n+3}-3a_{n+2}+a_{n+1}+2a_n=0$ .
De karakteristieke vergelijking van deze lineaire recurrentie is $x^3-3x^2+x+2=(x-2)(x^2-x-1)$ . Volgens de theorie van de lineaire recurrente rijen is dan $a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n$ . Hierbij is $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ en $\beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ . We weten, ook door gebruik te maken van de theorie van de lineaire recurrentie, dat $F_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ .
In $a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n$ , bepalen we $A,B$ en $C$ door gebruik te maken van $a_0=0,a_1=0$ en $a_2=1$ . We vinden $A=1$ , $B=-\dfrac{\alpha^2}{\alpha-\beta}$ en $C=\dfrac{\beta^2}{\alpha-\beta}$ .
Bijgevolg is $a_n=2^n-F_{n+2}$ .

Geplaatst op 13 maart 2018 door admin

Antwoord

We maken eerst een tekening
We kunnen beter bewijzen dat de oppervlakte van de driehoeken ABH en BJC dezelfde zijn door bij de opgave de oppervlakte van BIH toe te voegen aan beide delen.
Dus moet $|BH|.|AC|=|JC|.|BC|$ of $\dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|JC|}{|BH|}$ .
Nu zijn de driehoeken ACH en BGH gelijkvormig (HH= rechte hoek en overstaande hoeken), dus geldt $\dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|HC|}{|BH|}$ . Bijgevolg rest ons te bewijzen dat $|JC|=|HC|$ .
Ook driehoeken BJC en BED zijn gelijkvormig ( HH= gemeenschappelijke hoek en rechte hoek), dus is $\dfrac{|JC|}{|ED|}=\dfrac{|BC|}{|BD|}$ of $|JC|.|BD|=|BC|.|ED|$ . Bijgevolg is $|JC|.(|BC|+|AC|)=|BC|.|AC|$ .
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken AHC en AGF volgt op een analoge wijze dat $|HC|.(|BC|+|AC|)=|BC|.|AC|$ .
Uit de twee laatste formules volgt dan inderdaad dat $|JC|=|HC|$ , net wat we wilden bewijzen.

Geplaatst op 6 maart 2018 door admin

Antwoord

Noteer 2017 = x en 2018 = y, dan moeten we zoeken welke van de twee, $x^y$ of $y^x$ , het grootst is. Hierbij is $0<x<y$ .
Als we zouden veronderstellen dat $x^y > y^x$ , dan is komt dit neer op $y \ln x > x \ln y$ , want de natuurlijke logaritmische functie is stijgend.
Dit is te herschrijven als : $\dfrac{\ln x}{x}> \dfrac{\ln y}{y}$ .
Daaro onderzoeken we de functie $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ .
$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ . Bijgevolg is $f'(x)<0$ als $x>e$ , en is f daar dalend.
Klaar! : Omdat $e<x<y$ en omdat f dalend is rechts van e, zal de volgorde van de beelden worden omgedraaid , dus $f(x)>f(y)$ en bijgevolg is
$2017^{2018}>2018^{2017}$

Geplaatst op 2 maart 2018 door admin

Antwoord

We kiezen een rechte ( rood) die twee zijden snijdt en bepaal de spiegelbeelden van die zijden ( blauwe stippellijn).
Bepaal het snijpunt van die stippellijnen: T en bepaal de deellijn
( blauw )van de hoek in T.
Spiegel die lijn terug rond de rode rechte ( groene lijn) en bepaal het snijpunt U met de deellijn (paarse lijn )van de driehoek die je wel kon tekenen (vanuit K).
U is het middelpunt van de ingeschreven cirkel.

Geplaatst op 9 februari 2018 door admin

Antwoord

F verdeelt de zijde a in $|CF| =r\cot \frac{C}{2}$ en $|FB|=r\cot \frac{B}{2}$ . Hierbij is $r$ de straal van de ingeschreven cirkel en zijn CD en BD de bissectrices van de hoeken C en B.
Analoog geldt: G verdeelt de zijde b in $|CG| =r\cot \frac{C}{2}$ en $|AG|=r\cot \frac{A}{2}$ en E verdeelt de zijde c in $|AE| =r\cot \frac{A}{2}$ en $|EB|=r\cot \frac{B}{2}$ .
Dan is $\dfrac{|AE|}{|EB|}.\dfrac{|BF|}{|FC|}.\dfrac{|CG|}{|GA|}=1$ .
Volgens de stelling van Ceva zijn de hoektransversalen AF,BG en CE dan concurrent.