Categorie archieven: Opgaven

Bericht navigatie

Geplaatst op 8 oktober 2021 door admin

Als p,q en r priemgetallen zijn groter dan 3, bewijs dan dat $p^2+q^2+r^2$ geen priemgetal is.

Antwoord

Elk priemgetal x is van de vorm $3k\pm 1$ .
Dan is $x^2$ van de vorm $3l+1$ .
De som van 3 priemgetallen is dan : $p^2+q^2+r^2=3l+1+3n+1+3m+1=3(l+m+n+1)$ .
Dus is $p^2+q^2+r^2$ niet priem.

Als $2^k+1$ een priemgetal is, dan is k een macht van 2. Bewijs.

Antwoord

Stel dat k geen macht van 2 is, dan is $k=n.2^q$ , waarbij n zeker oneven is.
Nu is $A= 2^k+1=2^{n.2^q}=\Big(2^{(2^q)}\Big)^n+1$ .
Algemeen geldt er dat , bij oneven n, $x^n+1$ steeds deelbaar is door $x+1$ .
Bijgevolg is A deelbaar door $2^{(2^q)}+1$ en hebben we een tegenspraak.
Dus is k wel een macht van 2.

Geplaatst in Opgaven | Getagged bewijs uit het ongerijmde, getaltheorie, oefeningen priemgetallen, priem getallen, problem solving

Opgave 31

Geplaatst op 3 juli 2021 door admin

Het getal $(5^2+9^2)(12^2+17^2)$ kan geschreven worden als som van twee kwadraten van positieve gehele getallen. Geef zo een schrijfwijze.

Antwoord

We zouden de vraag algemener kunnen stellen: schrijf $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ als som van twee kwadraten.
Het is gemakkelijk aan te tonen dat dit product gelijk is aan $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ of $(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ .
Zo vinden we dat $(5^2+9^2)(12^2+17^2)=93^3+193^3=213^2+23^2$ .
Je kan de oplossing ook vinden door gebruik te maken van complexe getallen.
Zo is $5^2+9^2$ het kwadraat van de modulus van $5+9i$ .
Omdat de modulus van een product gelijk is aan het product van de moduli is $(5^2+9^2)(12^2+17^2)$ het kwadraat van de modulus van o.a. $(5+9i)(12+17i)=-93+193i$ . Zo bekom je hetzelfde resultaat.

Geplaatst in Opgaven | Getagged complexe getallen, getallen raadsel, modulus complex getal, problem solving

Opgave 30

Geplaatst op 12 mei 2021 door admin

Plaats de eerste 20 getallen op een cirkel. S is de som van ( de positief getelde ) verschillen van twee aanliggende getallen. Wat zijn de minimum en maximum waarden voor S?

Antwoord

Proberen we eens uit met 4 getallen en noteer een schikking op de cirkel door bijvoorbeeld ( 1,3,2,4). De waarde van S is dan (3-1)+(3-2)+(4-2)+(4-1)=8.
Als we de schikking (1,2,3,…,20) gebruiken, dan is het positief getelde verschil va twee buren altijd 1 behalve bij de buren 1 en 20. Dus s=19.1+19=38. Dit is duidelijk de minimumwaarde.
Noteer de getallen door $a_1,a_2,...,a_{20}$ . Dan is elk verschil van de vorm $\pm (a_{i+1}-a_i)$ .
Bijgevolg is $S=k_1a_1+k_2a_2+....+k_{20}a_{20}$ met $k_i\in \{2,-2,0\}$ en waarvan de som van alle $k_i$ gelijk is aan 0.
Dan wordt S gemaximaliseerd door $h_1=h_2=...=h_{10}=-2$ en $h_{11}=h_{12}=...=h_{20}=2$ en dan is $S=-2(1+2+...+10)+2(11+12+...+20)=100$ .
Dit kan je effectief verkrijgen door volgende schikking: (1,20,2,19,3,18,…,10,11).

Geplaatst in Opgaven | Getagged minimum maximum, problem solving

Opgave 29

Geplaatst op 22 juni 2019 door admin

n spelers spelen n spelen en winnen om de beurt. Telkens een speler wint, verdubbelt hij het bezit van zijn n-1 tegenspelers. Op het einde hebben ze allemaal evenveel. Hoeveel hadden ze in het begin?

Antwoord

Laten we eenvoudig beginnen met 3 spelers, die in het begin a,b en c bezitten. Het rijtje tussen resultaten van de eerste speler is (a, a-b-c,2(a-b-c),4(a-b-c)). Het rijtje voor de tweede speler is (b,2b,3b-a-c,2(3b-a-c)). tenslotte voor de derde speler (c,2c,4c,7c-a-b). Als ze allemaal evenveel hebben op het laatst dan moet 4(a-b-c)=2(3b-a-c)=7c-a-b.. Dit stelsels is gelijkwaardig met : 4b=7c en 4a=13c. Hieruit volgt dat a=13, b=7 en c=4.
Deze manier van werken wordt moeilijk voor willekeurige n.
Noteer met s het totaal bezit van alle spelers. Op het einde hebben ze dan allemaal $\frac{s}{n}$ .
Na het eerste spel heeft de eerste speler $a_1-a_2-\cdots-a_n=2a_1-s$ .
Al de volgende keren wordt zijn bedrag verdubbeld zodat hij op het einde $2^{n-1}(2a_1-s)=\frac{s}{n}$ heeft. Hieruit volgt dat $n2^na_1=s(2^{n-1}n+1)$ .
Een analoge redenering voor speler 2 geeft : $n2^na_2=s(2^{n-2}n+1)$ . Idem voor alle andere spelers.
Hieruit volgt dat ze allen op het einde $2^n$ bezitten en dat in het begin speler k een som van $2^{n-k}n+1$ heeft

Geplaatst in Opgaven, Problem Solving | Getagged spelstrategie, wiskundig spel

Opgave 28

Geplaatst op 22 april 2019 door admin

Hoeveel niet-congruente driehoeken met gehele zijden en omtrek 2019 kan men construeren?

Antwoord

Elke zijde van een driehoek is kleiner dan de som van de twee andere zijden. Bijgevolg is de langste zijde van de gezochte driehoeken $\leq 1009$ .
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1009, dan kunnen de andere twee zijden gelijk zijn aan : $(1009,1),(1008,2),\cdots,(505,505)$ . Er zijn dus 505 mogelijke driehoeken.
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1008, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: $(1008,3),(1007,4),\cdots,(506,505)$ . Er zijn dus 503 mogelijke driehoeken.
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1007, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: $(1007,5),(1006,6),\cdots,(506,506)$ . Er zijn dus 502 mogelijke driehoeken.
Daal verder af…
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 674, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: $(674,671),(673,672)$ . Er zijn dus 2 mogelijke driehoeken.
Tenslotte blijft er de gelijkzijdige driehoek met zijde 673 over.
Het totaal aantal mogelijkheden is $S=505+503+502+500+\cdots+4+2+1$ .
Herschikking geeft $S=505+(503+1)+(502+2)+(500+504)+\cdots$ . Dit geeft $S=505+504 \times 168 =85177$ .

Geplaatst in Opgaven | Getagged combinatoriek, driehoeken met gegeven oppervlakte, driehoeksongelijkheid, verstandig tellen

Bericht navigatie

← Oudere berichten

Nieuwere berichten →

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Opgaven

2 opgaven over priemgetallen

Opgave 31

Het getal $(5^2+9^2)(12^2+17^2)$ kan geschreven worden als som van twee kwadraten van positieve gehele getallen. Geef zo een schrijfwijze.

Opgave 30

Plaats de eerste 20 getallen op een cirkel. S is de som van ( de positief getelde ) verschillen van twee aanliggende getallen. Wat zijn de minimum en maximum waarden voor S?

Opgave 29

n spelers spelen n spelen en winnen om de beurt. Telkens een speler wint, verdubbelt hij het bezit van zijn n-1 tegenspelers. Op het einde hebben ze allemaal evenveel. Hoeveel hadden ze in het begin?

Opgave 28

Hoeveel niet-congruente driehoeken met gehele zijden en omtrek 2019 kan men construeren?

Het getal kan geschreven worden als som van twee kwadraten van positieve gehele getallen. Geef zo een schrijfwijze.

Plaats de eerste 20 getallen op een cirkel. S is de som van ( de positief getelde ) verschillen van twee aanliggende getallen. Wat zijn de minimum en maximum waarden voor S?

n spelers spelen n spelen en winnen om de beurt. Telkens een speler wint, verdubbelt hij het bezit van zijn n-1 tegenspelers. Op het einde hebben ze allemaal evenveel. Hoeveel hadden ze in het begin?

Hoeveel niet-congruente driehoeken met gehele zijden en omtrek 2019 kan men construeren?

Het getal $(5^2+9^2)(12^2+17^2)$ kan geschreven worden als som van twee kwadraten van positieve gehele getallen. Geef zo een schrijfwijze.