Opgave 31

Geplaatst op 3 juli 2021 door admin

Antwoord

We zouden de vraag algemener kunnen stellen: schrijf $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ als som van twee kwadraten.
Het is gemakkelijk aan te tonen dat dit product gelijk is aan $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ of $(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ .
Zo vinden we dat $(5^2+9^2)(12^2+17^2)=93^3+193^3=213^2+23^2$ .
Je kan de oplossing ook vinden door gebruik te maken van complexe getallen.
Zo is $5^2+9^2$ het kwadraat van de modulus van $5+9i$ .
Omdat de modulus van een product gelijk is aan het product van de moduli is $(5^2+9^2)(12^2+17^2)$ het kwadraat van de modulus van o.a. $(5+9i)(12+17i)=-93+193i$ . Zo bekom je hetzelfde resultaat.

Opgave 30

Geplaatst op 12 mei 2021 door admin

Antwoord

Proberen we eens uit met 4 getallen en noteer een schikking op de cirkel door bijvoorbeeld ( 1,3,2,4). De waarde van S is dan (3-1)+(3-2)+(4-2)+(4-1)=8.
Als we de schikking (1,2,3,…,20) gebruiken, dan is het positief getelde verschil va twee buren altijd 1 behalve bij de buren 1 en 20. Dus s=19.1+19=38. Dit is duidelijk de minimumwaarde.
Noteer de getallen door $a_1,a_2,...,a_{20}$ . Dan is elk verschil van de vorm $\pm (a_{i+1}-a_i)$ .
Bijgevolg is $S=k_1a_1+k_2a_2+....+k_{20}a_{20}$ met $k_i\in \{2,-2,0\}$ en waarvan de som van alle $k_i$ gelijk is aan 0.
Dan wordt S gemaximaliseerd door $h_1=h_2=...=h_{10}=-2$ en $h_{11}=h_{12}=...=h_{20}=2$ en dan is $S=-2(1+2+...+10)+2(11+12+...+20)=100$ .
Dit kan je effectief verkrijgen door volgende schikking: (1,20,2,19,3,18,…,10,11).

Geplaatst op 22 juni 2019 door admin

Antwoord

Laten we eenvoudig beginnen met 3 spelers, die in het begin a,b en c bezitten. Het rijtje tussen resultaten van de eerste speler is (a, a-b-c,2(a-b-c),4(a-b-c)). Het rijtje voor de tweede speler is (b,2b,3b-a-c,2(3b-a-c)). tenslotte voor de derde speler (c,2c,4c,7c-a-b). Als ze allemaal evenveel hebben op het laatst dan moet 4(a-b-c)=2(3b-a-c)=7c-a-b.. Dit stelsels is gelijkwaardig met : 4b=7c en 4a=13c. Hieruit volgt dat a=13, b=7 en c=4.
Deze manier van werken wordt moeilijk voor willekeurige n.
Noteer met s het totaal bezit van alle spelers. Op het einde hebben ze dan allemaal $\frac{s}{n}$ .
Na het eerste spel heeft de eerste speler $a_1-a_2-\cdots-a_n=2a_1-s$ .
Al de volgende keren wordt zijn bedrag verdubbeld zodat hij op het einde $2^{n-1}(2a_1-s)=\frac{s}{n}$ heeft. Hieruit volgt dat $n2^na_1=s(2^{n-1}n+1)$ .
Een analoge redenering voor speler 2 geeft : $n2^na_2=s(2^{n-2}n+1)$ . Idem voor alle andere spelers.
Hieruit volgt dat ze allen op het einde $2^n$ bezitten en dat in het begin speler k een som van $2^{n-k}n+1$ heeft

Geplaatst op 22 april 2019 door admin

Antwoord

Elke zijde van een driehoek is kleiner dan de som van de twee andere zijden. Bijgevolg is de langste zijde van de gezochte driehoeken $\leq 1009$ .
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1009, dan kunnen de andere twee zijden gelijk zijn aan : $(1009,1),(1008,2),\cdots,(505,505)$ . Er zijn dus 505 mogelijke driehoeken.
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1008, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: $(1008,3),(1007,4),\cdots,(506,505)$ . Er zijn dus 503 mogelijke driehoeken.
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 1007, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: $(1007,5),(1006,6),\cdots,(506,506)$ . Er zijn dus 502 mogelijke driehoeken.
Daal verder af…
Stel dat de langste zijde gelijk is aan 674, dan kunnen de andere zijden gelijk zijn aan: $(674,671),(673,672)$ . Er zijn dus 2 mogelijke driehoeken.
Tenslotte blijft er de gelijkzijdige driehoek met zijde 673 over.
Het totaal aantal mogelijkheden is $S=505+503+502+500+\cdots+4+2+1$ .
Herschikking geeft $S=505+(503+1)+(502+2)+(500+504)+\cdots$ . Dit geeft $S=505+504 \times 168 =85177$ .

Geplaatst op 9 februari 2019 door admin

Stel die 4 opeenvolgende getallen voor door 2k, 2k+2, 2k+4 en 2k+6.
De som van d eandere getallen is dan $\frac{1}{2}n(n+1)-(8k+12)$ .
Het gemiddelde is dan $\frac{\frac{1}{2}n(n+1)-(8k+12)}{n-4}=\frac{825} {16}$ .
Hieruit volgt dat $825(n-4)=8n(n+1)-16(8k+12)$ .
8 is een deler van het rechterlid en dus ook van het linkerlid. Bijgevolg bestaat er een geheel getal m waarvoor $n-4=8m$ . Ingevuld in vorige vergelijking vinden we dan dat $825m=64m^2+72m-16k-4$ .
4 deelt het rechterlid en dus ook het linkerlid, dus bestaat er een geheel getal l zodat $m=4l$ . Invullen geeft dan $256l^2-753l=4k+1$ .
Nu is $2k+6\leq n=8m+4=32l+4$ . Bijgevolg is $k\leq 16l-1$ en dus ook $4k+1\leq 64l-3$ .
Uit vorige twee punten volgt dan dat $256l^2-753l\leq 64l-3$ of
$256l^2-817l+3\leq 0$
Enkel $l=1,2,3$ voldoen en omdat $4k+1=256l ^2-753l$ , zal uiteindelijk enkel $l=3$ een oplossing geven voor k, namelijk $k=11$ .
De 4 gezochte getallen zijn dan 22, 24, 26 en 28.