Opgave 40

Geplaatst op 17 januari 2024 door admin

Een convexe zeshoek is ingeschreven in een cirkel met straal r. Twee zijden van deze zeshoek hebben als lengte 7 eenheden , terwijl de vier overige als lengte 20 eenheden hebben. Bepaal de straal van de cirkel.

Antwoord

Wat de volgorde van de zijden is, steeds moet minstens aan één zijde met lengte 7 een zijde met lengte 20 aanliggend zijn. Noem de middelpuntshoek tegenover de zijde met lengte 20 eenheden 2a en de middelpuntshoek tegenover de zijde met lengte 7 eenheden 2b.
Door het apothema te trekken op de zijden van de zeshoek vinden we dat $\sin a=\frac{10}{r}$ en $\sin b=\frac{3,5}{3}$ .
De som van alle middelpuntshoeken is $360^\circ$ , dus $2*2b+4*2a=360^\circ$ . Hieruit volgt dat $b+2a=90^\circ$ .
Dan geldt er dat $\sin b=\cos 2a=1-2\sin^2 a$
Volgens een vorig punt is dus $1-2\sin^2 a=\frac{3,5}{r}$ . Of
$1-2\Big(\frac{10}{r}\Big)^2=\frac{3,5}{r}$
Dit geeft een vierkantsvergelijking: $2r^2-7r-400=0$
De enige positieve oplossing van deze vergelijking is 16.
De straal is 16 eenheden lang.

Geplaatst op 9 januari 2024 door admin

Antwoord

Veronderstel dat er toch een natuurlijk getal k bestaat zodat
$3^3+3^n+2=k^2$
Dan is $3^m+3^n=(k+1)(k-1)$ . Omdat het linkerlid even is en omdat $k-1$ en $k+1$ dezelfde pariteit hebben, zijn $k-1$ en $k+1$ opeenvolgende even getallen.
Dit betekent ook dat ofwel $k-1$ ofwel $k+1$ een viervoud is. Het rechterlid $(k-1)(k+1)$ is dus deelbaar door 8.
Bij deling door 8 zijn de resten van machten van 3 ofwel 1 ofwel 3. De som $3^m+3^n$ is dus modulo 8, gelijk aan 2,4 of 6 en dus zeker niet deelbaar door 8.
Bijgevolg kan $3^m+3^n+1$ nooit een volkomen kwadraat zijn.

Geplaatst op 2 september 2023 door admin

Antwoord

Bekijken we het probleem wat algemener en gebruiken we de eigenschap dat de raaklijnen vanuit een punt aan een cirkel evenleng zijn.
Noteren we de straal van de ingeschreven cirkel met x .
We passen nu de stelling van Pythagoras toe: $5^ 2=(x+2)^2+(x+3)^2$ .
Deze vierkantsvergelijking heeft als oplossing 1 en $-6$ . Bijgevolg is $x=1$ .
De gevraagde oppervlakte is dan $\frac{1}{2}(2+1)(3+1)=6$ .

Geplaatst op 30 juli 2023 door admin

We gebruiken eerst de stelling van Ceva:
$\frac{|AM|}{|MB|}.\frac{|BD|}{|DC|}.\frac{|CE|}{|EA|}=1$
Omdat M het midden is volgt hieruit dat
$\frac{|BD|}{|DC|}.\frac{|CE|}{|EA|}=1$
Volgens de omgekeerde stelling van Thales is dan ook ED evenwijdig met AB

Geplaatst op 26 september 2022 door admin

Wanneer deelt een natuurlijk getal n de uitdrukking $10^k-1$ voor een natuurlijke k?

Spoiler

Als n een veelvoud is van 2 of 5, dan is de enige mogelijkheid de triviale oplossing k=0.
Veronderstel dus verder dat n geen priemfactor 2 of 5 bevat.
Noteer met K(n) de kleinste, van 0 verschillende waarde van k, waarvoor $n|(10^k-1)$ .
Proberen we een aantal waarden uit:
$\begin{array}{c|c} n&K(n) \\ \hline \\ 3&1\\7&6\\9&1\\11&2 \end{array}$
Stel nu dat n, geen priemfactor 2 of 5 bevat, en een deler is van $10^k-1$ , dan bestaat er een natuurlijk getal a zodat $n.a=10^k-1$ .
Noteer de decimale schrijfwijze van a als $a=a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k$ .
Dan is $a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k=\frac{10^k}{n}-\frac{1}{n}$ .
Bij deling, van deze laatste vergelijking door $10^k$ vinden we:
$0,a_1\cdots a_{k-1}a_k=\frac{1}{n}-\frac{10^{-k}}{n}$
Als we steeds maar opnieuw delen door $10^k$ en alle bekomen formules lid per lid bij elkaar optellen vinden we
$\frac{1}{n}=0,a_1\cdots a_{k-1}a_ka_1\cdots a_{k-1}a_k\cdots$
Omgekeerd is het eenvoudig te zien dat, als $\frac{1}{n}$ een decimale ontwikkeling zoals hierboven heeft, dat n een deler is van $10^k-1$ .
Besluit: Als n geen priemfactor 2 of 5 bevat, dan in K(n) gelijk aan de lengte van de periode van $\frac{1}{n}$ .
Natuurlijk is elk veelvoud van k ook een goede oplossing.