Categorie archieven: Ongelijkheden

Ongelijkheden en gemiddelden

Geplaatst op door

Neem n positieve getallen x_1,x_2,\cdots,x_n. Dan definieren we:

  • Het rekenkundige gemiddelde: RG = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.
  • Het meetkundig gemiddelde: MG = \sqrt[n]{x_1.x_2.\cdots.x_n}.
  • Het harmonisch gemiddelde: HG = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}.
  • Het r-de machtsgemiddelde: P_r =\sqrt[r]{ \dfrac{x_1^r+x_2^r+\cdots+x_n^r}{n}}. Voor r=2 spreken we ook van het kwadratisch gemiddelde.

Als r<s, dan geldt volgende ongelijkheid:

    \[HG\leq MG\leq RG\leq P_r\leq P_s\]

De gelijkheid krijgen we als x_1=x_2=\cdots=x_n.

Voor twee positieve getallen a en b vinden we zo:

    \[\dfrac{2ab}{a+b}\leq \sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}\leq \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}} \leq \sqrt[3]{\dfrac{a^3+b^3}{2}}\]

Ongelijkheid van Chebysev of Tsjebysjev

Geplaatst op door

Als we A en B nemen zoals in de herschikkingsongelijkheid, dan geldt

    \[A\geq \frac {(a_1+ \cdots + a_n)(b_1+ \cdots + b_n)}{n} \geq B\]

Immers, als we de termen b_i cyclisch veranderen krijgen we n gemengde sommen: a_1b_1+a_2b_2+ \cdots +a_nb_n,a_1b_2+a_2b_3+ \cdots +a_nb_1, \ldots , a_1b_n+a_2b_1+\cdots+a_nb_{n-1}. Elk van deze sommen ligt volgens de herschikkingsongelijkheid tussen A en B, zo zal hun gemiddelde ook tussen A en B gelegen zijn. Dit gemiddelde is juist de middelste term in de ongelijkheid van Chebychev.

cheby

Voorbeeld:

Voor 2 positieve getallen a,b, geldt: 2(a^5+b^5)\geq (a^3+b^3)(a^2+b^2)

Neem de  de gelijk geordende drietallen (a^2,b^2) en (a^3,b^3). Dan is a^2a^3+b^2b^3 \geq \dfrac{ (a^2+b^2)(a^3+b^3)}{2}. Hieruit volgt het gestelde.

Herschikkingsongelijkheid

Geplaatst op door

De herschikkingsongelijkheid is tezelfdertijd een zeer eenvoudige maar ook een zeer krachtige ongelijkheid. Als a_1\leq a_2\leq \ldots \leq a_n en b_1\leq b_2\leq \ldots \leq b_n dan noemen we (a_1,\ldots,a_n) en (b_1,\ldots,b_n) gelijk geordend en (a_1,\ldots,a_n) en (b_n,\ldots,b_1) omgekeerd geordend.
We noemen A=a_1b_1+\cdots +a_nb_n de geordende som en B=a_1b_n+\cdots +a_nb_1 de omgekeerde som van de gegeven getallen.
Als (x_1,\ldots,x_n) een herschikking (permutatie) is van de getallen (b_1,\ldots,b_n) dan noemen we X=a_1x_1+\cdots +a_nx_n een gemengde som.

De herschikkingsongelijkheid zegt dan:

    \[A\geq X \geq B\]

 

Voorbeeld:

Voor 3 positieve getallen a,b,c geldt: \dfrac{a+b+c}{abc}\leq \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}

Neem de gelijk geordende drietallen (\dfrac {1}{a},\dfrac {1}{b},\dfrac {1}{c}) en (\dfrac {1}{a},\dfrac {1}{b},\dfrac {1}{c}) . Dan is \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \geq \dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b+c}{abc}.