Categorie archieven: Meetkunde

Een vlieger

Geplaatst op door

 

 

Een vlieger is een meetkundige figuur waar bij exact twee overstaande hoeken, de aanliggende zijden gelijk zijn. Die hoekpunten noemt men de toppen van de vlieger. In onderstaande figuur zijn A en C de toppen.

Verdere eigenschappen:

  • De diagonalen staan loodrecht op elkaar.
  • De diagonaal door de toppen is de enige symmetrieas van de vlieger.
  • De overstaande hoeken, die niet bij de toppen horen, zijn gelijk.
  • De oppervlakte van de vlieger is het halve product van de lengtes van de diagonalen.
  • De diagonaal door de toppen deelt de andere diagonaal middendoor.
  • Een vlieger is een raaklijnen vierhoek en heeft dus een ingeschreven cirkel. In bovenstaande figuur is het middelpunt van de cirkel het snijpunt van de diagonaal door de toppen met de bissectrice van de hoek in D.

Macht van een punt ten opzichte van een cirkel

Geplaatst op door

Om de macht van een punt A ten opzichte van een cirkel, genoteerd als \mu_A, te berekenen neemt men door A een willekeurige rechte die de cirkel in twee punten, P en Q, snijdt en dan is 

    \[ $\mu_A=|AP|.|AQ|\]

Dit begrip is goed gedefinieerd, want als je een andere snijlijn neemt, bvb door A,N en M, is  \mu_A=|AN|.|AM|. Dit volgt uit de gelijkvormigheid van de driehoeken AQN en APM.

Het begrip werd in 1826 ingevoerd door de Zwitserse wiskundige Jakob Steiner( 1796-1863) als maat voor hoe ver een punt zich binnen of buiten een cirkel bevindt. Want als je een rechte door A en het middelpunt O van de cirkel, met straal r, neemt dan vindt je dat

    \[\mu_A=|AO|^2-r^2\]

Een paar opmerkingen:

  • Opdat beide formules ook zouden gelden voor punten in het inwendige van een cirkel geven we die punten een negatieve macht.
  • Voor punten op de cirkel  is de macht gelijk aan nul.
  • De macht van een  punt buiten de cirkel is ook gelijk aan het kwadraat van de raaklijn vanuit A aan de cirkel.
  • De meetkundige plaats van de punten met een gegeven macht ten opzichte van een vaste cirkel is een cirkel concentrisch met de gegeven cirkel.
  • De machtlijn van twee cirkels is de meetkundige plaats van punten die ten opzichte van de twee cirkels gelijke machten hebben. De machtlijn staat loodrecht op de lijn die de middelpunten van de cirkels verbindt.
  • Voor een punt A gelegen buiten twee cirkels en op de machtlijn ervan geldt dat de raaklijnstukken vanuit P aan de cirkels dezelfde lengte hebben.
  • Het punt van de machtlijn, gelegen op een gemeenschappelijke raaklijn aan de twee cirkels, is het midden van de twee raakpunten.
  • Als de cirkels snijden, dan hebben deze snijpunten macht nul ten opzichte van beide cirkels, en verbindt de machtlijn dus deze snijpunten. Evenzo, als de twee cirkels raken, dan is de machtlijn hun gemeenschappelijke raaklijn in dit raakpunt.

 

De rechte van Wallace

Geplaatst op door

Er bestaat een mooie, minder bekende meetkundige stelling, die voor het eerst gevonden werd door de Schotse wiskundige William Wallace (1768-1843).

De voetpunten Pc , Pa en Pb van de loodlijnen uit een punt
P van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC neergelaten
op de dragers van de zijden, zijn collineair.

De rechte door Pa,Pb en Pc noemt men  de rechte van Wallace.
Het bewijs verloopt als volgt: PBPcPa is een koordenvierhoek (hoek tussen zijde en diagonaal). Analoog zijn ook PPaCPb en PCAB  koordenvierhoeken. Omdat de overstaande hoeken supplementair zijn volgt hieruit dat \widehat{PPaPc}+\widehat {PPaPb}=180^{\circ}. Hieruit volgt dat de drie punten collineair zijn.

Men kan deze stelling ook veralgemenen:
Als je in plaats van loodlijnen, rechten uit P kiest die eenzelfde hoek maken met de zijden, dan geldt weer dat de drie ‘voetpunten’, zeg Qc, Qa en Qb, collineair zijn.

Koordenvierhoeken

Geplaatst op door

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarbij de vier hoekpunten op een cirkel gelegen zijn.
Enkele eigenschappen:

  • Een koordenvierhoek is altijd convex.
  • Een vierhoek is een koordenvierhoek als en slechts als de overstaande hoeken supplementair zijn ( samen gelijk aan 180°).
  • |AB|.|CD|+|BC|.|AD|=|AC|.|BD|: de stelling van Ptolemaeus.
  • Een vierhoek is een koordenvierhoek als en slechts als de hoek gevormd door een zijde en een diagonaal gelijk is aan de hoek gevormd door de overstaande zijde en de overstaande diagonaal.
  • De hoogtepunten van de vier diagonaaldriehoeken vormen een driehoek die congruent is met de gegeven vierhoek.

Een eigenschap van gelijkzijdige driehoeken.

Geplaatst op door

Gegeven zijn 2 punten A en B. Als we B roteren  over 60° rond A, naar het punt B’, dan is de driehoek ABB’ gelijkzijdig.

Een gevolg hiervan is de volgende eigenschap over gelijkzijdige driehoeken die gevonden werd in 1936 door de Roemeense wiskundige D.Pompeiu (1873-1954). Het is merkwaardig dat dit, relatief eenvoudig resultaat, niet vroeger ontdekt werd.

ABC is een gelijkzijdige driehoek en P een punt dat niet op de omgeschreven cirkel ligt van ABC. Dan is het steeds mogelijk een driehoek te construeren met als zijden PA,PB en PC. Als P toch op de omgeschreven cirkel ligt dan zal een van deze drie lengtes gelijk zijn aan de som van de anderen.

In onderstaande tekening wordt ABC over 60° gedraaid rond het punt C. De zijden van de driehoek PP’A zijn gelijk aan PA,PB en PC, dus hebben we inderdaad een driehoek geconstrueerd met als zijden PA,PB en PC.