Categorie archieven: Meetkunde

De cirkel van Apollonius

Geplaatst op door

Een cirkel van Apollonius is de meetkundige plaats in het vlak van alle punten p, die bij gegeven punten A en B, voldoen aan

    \[d(P,A)=r . d(P,B)\]

De naam van deze cirkel komt van de Griekse astronoom en wiskundige Apollonius van Perga( 262-190 BC). Hij was degene die kegelsnedes, zoals ellipsen, parabolen en hyperbolen, de namen gaf die we tot op de dag van vandaag nog gebruiken. Zijn achtdelige ”Konika” over kegelsnedes wordt gezien als één van de grootste werken uit de antieke meetkunde. Verder heeft hij enorm bijgedragen aan de astronomie. Dit blijkt uit de, naar hem vernoemde, Apolloniuskrater op de maan.

Merk eerst en vooral op dat als r = 1, dat de meetkundige plaats een rechte is, namelijk de middelloodlijn van \left[A,B\right].

Veronderstel nu dan dat r \neq 1. Als we de oorsprong in A leggen, de X-as door A en B en B(d,0) noemen, dan is de nodige en voldoende voorwaarde voor (x,y) om op de meetkundige plaats te leggen gegeven door x^2+y^2=k^2( (x-d)^2+y^2. Na wat rekenwerk is dit te herleiden tot

    \[\big(x-\dfrac{k^2d}{k^2-1}\big)^2+y^2=\dfrac{k^2d^2}{(k^2-1)^2}\]

Dit is inderdaad een cirkel met middelpunt M(\dfrac{k^2d}{k^2-1},0) en straal \dfrac{kd}{k^2-1}.

Als C en D de snijpunten zijn van de cirkel met de X-as, dan geldt voor elk punt P van de cirkel dat PC en PD de deellijnen zijn van de driehoek ABP. In een driehoek worden, vanwege deze eigenschap, de cirkels door een hoekpunt en door de snijpunten van de bissectrices door dat hoekpunt met de overstaande zijde de cirkels van Apollonius van die driehoek genoemd.

Een paar opmerkingen:

  • De Apollonius cirkel door A heeft als verhouding \frac{c}{b}.
  • Elk van deze cirkels staat loodrecht op de omgeschreven cirkel van de driehoek.
  • De middelpunten van de drie cirkels liggen op één lijn.    

 

 

 

 

Harmonische vierstraal

Geplaatst op door

We weten dat de binnen- en buiten bissectrice van de hoek O in driehoek OAB  de overstaande zijde verdeelt in een harmonisch puntenviertal ABPQ. Als we een andere snijlijn nemen met de 4 rechten die uit O vertrekken en hun snijpunten noteren met A’,B’,P’ en Q’, dan is ook dit een harmonisch puntenviertal, omdat ook in de driehoek OA’B’ de bissectrice stelling geldt. We noemen de vier rechten uit C een harmonische vierstraal.

Maar we hebben de bissectrices niet nodig. We kunnen algemeen een harmonische vierstraal definieren als een geordend viertal concurrente rechten waarbij de snijpunten met een willekeurige transversaal een harmonisch puntenviertal opleveren.

Dit is een goede definitie want stel dat in bovenstaande tekening (ABPQ)=-1, dan zal , voor de willekeurige snijlijn l’, ook (A'B'P'Q')=-1. Construeer door P en P’ rechten evenwijdig met OQ. Uit de gelijkvormigheid van driehoeken APR en AQO volgt dat \frac{|PR|}{|QO|}=\frac{|PA|}{|QA|}. Uit de gelijkvormigheid van driehoeken PBS en QBO volgt dat \frac{|PS|}{|QO|}=\frac{|PB|}{|QB|}. Uit het harmonisch zijn volgt dat de rechterleden in deze betrekkingen tegengesteld zijn, dus moet ook |PR|=-|PS|. Maar dan is ook |P'R'|=-|P'S'|. Uit de gelijkvormigheid van driehoeken A’P’R’ en A’Q’O enerzijds en driehoeken P’B’S’ en Q’B’O anderzijds volgt dan dat (A'B'P'Q')=-1.

Harmonisch puntenviertal

Geplaatst op door

Neem nu even de bissectrice stelling:  de bissectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de overstaande zijde  in stukken die zich verhouden als de aanliggende zijden. Dit geldt zowel voor de binnen bissectrice als de buiten bissectrice.

Dus : \frac{|DC|}{|DB|}=\frac{b}{c}=\frac{|D'C|}{|D'B|}. Als we de lijnstukken een richting geven en tegengesteld gerichte lijnstukken van een tegengesteld teken voorzien, kunnen we hieruit besluiten dat :

    \[\frac{|DC|}{|DB|}=-\frac{|D'C|}{|D'B|}\]

Een viertal punten, dat op een rechte ligt net zoals B,C,D en D’ noemen we een harmonisch puntenviertal. Andere formuleringen: 

  • De punten D en D’ liggen harmonisch ten opzichte van de punten B en C.
  • Het punt D’ is harmonisch toegevoegd aan het punt D ten opzichte van de punten B en C.
  • De dubbelverhouding van 4 punten, genoteerd als (BCDD') wordt gedefinieerd als \frac{|DC|}{|DB|}.\frac{|D'B|}{|D'C|}. Bij een harmonisch puntenviertal is de dubbelverhouding gelijk aan -1, dus

        \[(BCDD')=-1\]

We hebben dus net bewezen dat de binnen- en buiten bissectrice uit een hoekpunt van een driehoek  de overstaande zijlijn snijden in punten die harmonisch toegevoegd zijn ten opzichte van de hoekpunten op die zijlijn.

Als er drie punten op een rechte gegeven zijn, dan kan men een vierde punt construeren zodat ze een harmonisch puntenviertal vormen:

  • Gegeven A,B en C.
  • Teken door A en B willekeurig  twee evenwijdige rechten.
  • Teken door C een rechte die de vorige twee rechten snijdt in T en P.
  • Verleng PB toto in Q zodat |PB|=|BQ|.
  • Teken TQ en het snijpunt D met AB.
  • Dan is (ABCD)=-1.

Dit volgt uit de gelijkvormigheid van driehoek BDQ met driehoek DAT en de gelijkvormigheid van driehoek BCP en driehoek ACT.

Catalan veelvlakken

Geplaatst op door

Een Catalan veelvlak is de duale figuur van een Archimedisch veelvlak.  Ze werden vernoemd naar de Belgische wiskundige Eugène Catalan( 1814-1894). Twee figuren heten duaal als de middelpunten van de zijvlakken van de ene figuur ,de hoekpunten van het andere veelvlak vormen, en omgekeerd.

Enkele eigenschappen:

  • De Catalan veelvlakken zijn convex.
  • Ze zijn zijvlak transitief, m.a.w. alle zijvlakken zijn bijvoorbeeld driehoeken. Ze hoeven niet gelijkzijdig te zijn.

 

Een mooi voorbeeld is te zien op het Atomium ( ontwerp van A.Waterkeyn en de broers Polak): de disdyakis dodecahedron, een veelvlak met 48 zijvlakken die allemaal driehoeken zijn

Halfregelmatige veelvlakken

Geplaatst op door

 

Half regelmatige veelvlakken zijn veelvlakken die voldoen aan volgende eigenschappen:

  • Alle zijvlakken zijn regelmatige veelhoeken.
  • Hoekpunt transitief: in ieder hoekpunt komen steeds dezelfde veelhoeken samen in dezelfde of tegengestelde volgorde.

We onderscheiden 3 soorten:

  1. Een oneindige reeks prisma’s ( 2 regelmatige n-hoeken verbinden met n vierkanten)
  2. Een oneindige reeks anti-prisma’s (2 regelmatige n-hoeken over 180°/n draaien en dan verbinden met 2n gelijkzijdige driehoeken)
  3. Dertien Archimedische lichamen