Lengte van een hoogtelijn

Geplaatst op 26 augustus 2023 door admin

Hoe bereken je de lengte van een hoogtelijn in een driehoek in functie van de zijden a,b en c van die driehoek?

Noteer met s de halve omtrek van de driehoek, dus $2s=a+b+c$ . Uit de oppervlakte formule van Heroon vinden we:

$h_a=\frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Isogonaal verwantschap

Geplaatst op 23 augustus 2023 door admin

Twee rechten die door het hoekpunt van een hoek gaan en gelijke hoeken vormen met de benen van die hoek, heten isogonaal verwante rechten. In de tekening hierboven zijn de blauwe en rode lijnen in elk hoekpunt isogonaal verwant. De punten P en Q heten isogonaal verwante punten.

Enkele eigenschappen:

De isogonaal verwante rechten maken ook gelijke hoeken met de deellijn van de gegeven hoek. Ze zijn elkaars spiegelbeeld rond de deellijn.
Het hoogtepunt van een driehoek en het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die driehoek, zijn isogonaal verwante punten.
Het product van twee zijden van een driehoek is gelijk aan het product van de middellijn van de omgeschreven cirkel met de hoogtelijn, neergelaten op de derde zijde.
Immers in driehoek ABS ( S is het voetpunt van de hoogtelijn uit A) en driehoek ACQ zijn de hoeken in S en Q recht en de hoeken in B en Q zijn gelijk als omtrekshoeken op eenzelfde boog. daardoor zijn de gegeven driehoeken gelijkvormig en uit de evenredigheid van de zijden volgt dan het gestelde.

Lengte van een zwaartelijn

Geplaatst op 19 augustus 2023 door admin

Hoe kan je de lengte $z_A$ van de zwaartelijn uit A berekenen in functie van de zijden a, b en c van de driehoek?

Als je tweemaal de cosinusregel gebruikt om $z_A^2$ te berekenen en de bekomen resultaten optelt vind je:

$z_A=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$

Als je bovenstaande formule gebruikt, krijg je :

$x=\frac{1}{2}\sqrt{2.5^2+2.3^2-8^2}=1$

Oppervlakte vierhoek

Geplaatst op 6 juli 2023 door admin

Welke convexe vierhoek, met vaste zijden a,b,c en d heeft de grootste oppervlakte?

Stel S de oppervlakte van de vierhoek ABCD. Gebruik de formule voor de oppervlakte van een driehoek: de helft van het product van twee zijden en de sinus van de ingesloten hoek : $2S=ab \sin B+cd \sin d$ .
We kunnen de diagonaal AC bepalen via de cosinusregel in de driehoeken ABC en ADC: $|AC|^2=a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2-2cd\cos D$ .
Uit de laatste betrekking volgt dat
$\frac{1}{2}(a^2+b^2-c^2-d^2)=ab\cos B-cd \cos D$
Kwadrateren en optellen van de eerste formule en de laatste geeft:
$4S^2=a^2b^2+c^2d^2-2abcd\cos(B+D)-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2$
Nu is S maximaal als $\cos (B+D)$ minimaal is, dus gelijk aan $-1$ . Maar dan zijn de hoeken B en D supplementair en is de vierhoek een koordenvierhoek en kan dus ingeschreven worden in een cirkel.
Als we deze waarde $-1$ invullen in de vorige formule en we stellen $a+b+c+d=2P$ , dan kunnen we hieruit die maximale oppervlakte bepalen:
$S=\sqrt{(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)}$
Deze formule is een veralgemening van de formule van Heroon voor een driehoek (stel d=0).

Een gouden driehoek

Geplaatst op 2 juni 2023 door admin

Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met a en het kleinste deel met b, dan is de verhouding van beide zo dat $\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$ . De bedoelde verhouding $\frac{a}{b}$ noemt men het gulden getal en noteert men met $\varphi$ . Het oplossen van de gegeven vergelijking geeft:

$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$

Waar kunnen we in een driehoek dit gulden getal zien?

Neem een gelijkbenige driehoek met basishoeken van $72^\circ$ :

De hoogtelijn uit C verdeelt de overstaande zijde in twee gelijke stukken en de tophoek in twee gelijke hoeken. Zo een halve tophoek meet dan $x=18^\circ$ . Dan is $5x=90^\circ$ en $2x=90^\circ-3x$ . Bijgevolg is $\sin 2x=\cos 3x$ . Gebruiken we nu formules voor de dubbele en drievoudige hoek: $2\sin x\cos x=4\cos^3x-3\cos x$ .
Vermits $\cos x\neq 0$ , kunnen we beide leden delen door $\cos x$ en als we dan de grondformule van de goniometrie toepassen, vinden we