Categorie archieven: Meetkunde

Een gouden driehoek

Geplaatst op door

Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met a en het kleinste deel met b, dan is de verhouding van beide zo dat \frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}. De bedoelde verhouding \frac{a}{b} noemt men het gulden getal en noteert men met \varphi. Het oplossen van de gegeven vergelijking geeft:

    \[\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618\]

Waar kunnen we in een driehoek dit gulden getal zien?

Neem een gelijkbenige driehoek met basishoeken van 72^\circ:

De hoogtelijn uit C verdeelt de overstaande zijde in twee gelijke stukken en de tophoek in twee gelijke hoeken. Zo een halve tophoek meet dan x=18^\circ. Dan is 5x=90^\circ en 2x=90^\circ-3x. Bijgevolg is \sin 2x=\cos 3x. Gebruiken we nu formules voor de dubbele en drievoudige hoek: 2\sin x\cos x=4\cos^3x-3\cos x.
Vermits \cos x\neq 0, kunnen we beide leden delen door \cos x en als we dan de grondformule van de goniometrie toepassen, vinden we

    \[4\sin^2x+2\sin x-1=0\]

Het oplossen van deze vierkantsvergelijking geeft: \sin x =\frac{-1+\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{2\varphi}.

In de bovenstaande driehoek is \sin x=\frac{|AB|}{2|AC|}, dus

    \[\varphi=\frac{|AC|}{|AB|}\]

De gulden snede is dus de lengte van een opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek met basishoeken van 72^\circ en basis 1.

Zoals je in bovenstaande tekening ziet, kan je dit ook verkrijgen met een gelijkbenige driehoek met basishoeken van 36^\circ.

De stelling van Casey

Geplaatst op door

Volgende stelling komt van de hand van de Ierse wiskundige Casey   (1820-1891)

Gegeven is een cirkel, met middelpunt O en 4 niet snijdende cirkels, met middelpunten A,B,C en D) binnen die cirkel die in volgorde raken aan de grote cirkel. Noteer met aub,c,d,x en y hun gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen. dan geldt:

    \[ac+bd=xy\]

Als we de 4 binnenste cirkels laten ‘ontaarden’ in 4 punten, krijgen we de stelling van Ptolemaeus. Andere varianten bestaan er in slechts enkele cirkels te laten krimpen tot punten. Het omgekeerde resultaat is eveneens geldig.

De stelling klopt trouwens ook als de 4 kleine cirkels aan de buitenkant liggen van de gegeven cirkel.

Dit artikel is het 500ste op deze website. Bedankt aan alle lezers.

Straal ingeschreven cirkel

Geplaatst op door

Zoek een verband tussen de zijden van een rechthoekige driehoek en de straal van de ingeschreven cirkel.

De stukken van de raaklijnen vanuit een punt aan de cirkel zijn even lang en bovendien is x = r.

Wanneer we a+b berekenen vinden we dat a+b=x+z+x+y=2r+c, dus geldt in een rechthoekige driehoek :

    \[a+b-c=2r\]

Kan je nu de oppervlakte van de  rechthoek ABCD berekenen?

Eutrigon stelling

Geplaatst op door

Een eutrigon is een willekeurige driehoek waarvan 1 hoek 60 graden meet. De zijde ertegenover noemt men de hypotenusa  van het eurtrigon.

Men kan op de zijden van een eutrigon gelijkzijdige driehoeken construeren, zoals in onderstaande tekening:

Er bestaat een stelling die zegt dat de som van de oppervlakten van de eutrigon en de driehoek op de hypotenusa, gelijk is aan de som van de oppervlakte van de  driehoeken op de twee andere zijden:

    \[S+S_2=S_1+S_3\]

In driehoek ABC kan je de cosinusregel toepassen:

    \[b^2=a^2+c^2-ac\]


De oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde z wordt gegeven door de formule: \frac{\sqrt{3}z^2}{4}. Verder weten we dat de oppervlakte van driehoek ABC gegeven wordt door \frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ}. Als we beide leden in de cosinusregel van hierboven vermenigvuldigen met \frac{\sqrt{3}}{4}, vinden we dat

    \[S+S_2=S_1+S_3\]

Stelling van Stewart

Geplaatst op door

Onlangs vond ik op Facebook volgende opgave:

Matthew Stewart (1717-1785), een Schots wiskundige, publiceerde in 1746 een stelling waarmee je dit eenvoudig kan oplossen. De stelling berekent de lengte van een hoektransversaal  d=|CM| in een driehoek:

    \[cd^2=xa^2+yb^2-cxy\]

Het bewijs ervan is eerder eenvoudig: gebruik 2 keer de cosinus regel om resp a^2 en b^2 te berekenen.

Voor die hoektransversaal kan men speciale ‘lijnen’ in de driehoek kiezen:

  • Als d de zwaartelijn is uit C, dan herleidt de formule zich tot

        \[d^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2-\frac{1}{2}c^2)\]

    De gegeven opgave van Facebook heeft dan als oplossing x=1.
  • Als d de bissectrice is uit C, dan krijgen we

        \[d^2=ab-xy\]

    Het bewijs steunt op de bissectrice stelling x:y=b:a

 

Dit pareltje uit de vlakke meetkunde  wordt ook wel de stelling van Apollonius genoemd. Maar Apollonius van Perga formuleerde de stelling enkel voor x=y, dus het geval dat de hoektransversaal de zwaartelijn is.