Straal in en omgeschreven cirkel

Geplaatst op 20 september 2023 door admin

Kan je de straal van de ingeschreven (r) en omgeschreven (R) cirkel van een driehoek vinden in functie van de zijden a,b en c van een driehoek? Noteel met s de halve omtrek van de driehoek, dus $2s=a+b+c$ .

$R=\frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

$r=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}$

De Kepler-Bouwman constante

Geplaatst op 16 september 2023 door admin

Teken een cirkel met straal 1. Teken een regelmatige ( dus gelijkzijdige) driehoek, omgeschreven aan deze cirkel. Teken vervolgens de omgeschreven cirkel van die driehoek en het vierkant omgeschreven aan die cirkel. Daarna teken je weer de omgeschreven cirkel van dat vierkant en een regelmatige vijfhoek omgeschreven aan die cirkel. Ga daar oneindig mee door.

We zouden kunnen verwachten dat je zo steeds grotere cirkel gaat bekomen. En hoewel de cirkels aanvankelijk groter worden, neemt de mate van groter worden steeds af en zullen de stralen van de omgeschreven cirkels naderen tot een bepaalde limietwaarde.

Die waarde lijkt niet zo moeilijk om uit te rekenen.

De verhouding van de stralen van de gele en groene cirkel is $\cos \frac{\pi}{3}$ . Hieruit volgt dat de gezochte limietwaarde het omkeerde is van

$\prod_{k=3}^{\infty}\cos \frac{\pi}{k}$

De eerste die dit deden waren Edward Kasner (1878-1955) en James Newman (1907-1966). Zij bekwamen een waarde van ongeveer 12. In 1965 gaf een Nederlandse wiskundige Christoffel Bouwkamp (1915-2003) als waarde 8,7000 aan.`

Lengte van een hoogtelijn

Geplaatst op 26 augustus 2023 door admin

Hoe bereken je de lengte van een hoogtelijn in een driehoek in functie van de zijden a,b en c van die driehoek?

Noteer met s de halve omtrek van de driehoek, dus $2s=a+b+c$ . Uit de oppervlakte formule van Heroon vinden we:

$h_a=\frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Isogonaal verwantschap

Geplaatst op 23 augustus 2023 door admin

Twee rechten die door het hoekpunt van een hoek gaan en gelijke hoeken vormen met de benen van die hoek, heten isogonaal verwante rechten. In de tekening hierboven zijn de blauwe en rode lijnen in elk hoekpunt isogonaal verwant. De punten P en Q heten isogonaal verwante punten.

Enkele eigenschappen:

De isogonaal verwante rechten maken ook gelijke hoeken met de deellijn van de gegeven hoek. Ze zijn elkaars spiegelbeeld rond de deellijn.
Het hoogtepunt van een driehoek en het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die driehoek, zijn isogonaal verwante punten.
Het product van twee zijden van een driehoek is gelijk aan het product van de middellijn van de omgeschreven cirkel met de hoogtelijn, neergelaten op de derde zijde.
Immers in driehoek ABS ( S is het voetpunt van de hoogtelijn uit A) en driehoek ACQ zijn de hoeken in S en Q recht en de hoeken in B en Q zijn gelijk als omtrekshoeken op eenzelfde boog. daardoor zijn de gegeven driehoeken gelijkvormig en uit de evenredigheid van de zijden volgt dan het gestelde.