Categorie archieven: Meetkunde

De Kepler-Bouwman constante

Geplaatst op door

Teken een cirkel met straal 1. Teken een regelmatige ( dus gelijkzijdige) driehoek, omgeschreven aan deze cirkel. Teken vervolgens de omgeschreven cirkel van die driehoek en het vierkant omgeschreven aan die cirkel. Daarna teken je weer de omgeschreven cirkel van dat vierkant en een regelmatige vijfhoek omgeschreven aan die cirkel. Ga daar oneindig mee door.

We zouden kunnen verwachten dat je zo steeds grotere cirkel gaat bekomen. En hoewel de cirkels aanvankelijk groter worden, neemt de mate van groter worden steeds af en zullen de stralen van de omgeschreven cirkels naderen tot een bepaalde limietwaarde. 

Die waarde lijkt niet zo moeilijk om uit te rekenen.

De verhouding van de stralen van de gele en groene cirkel is \cos \frac{\pi}{3}. Hieruit volgt dat de gezochte limietwaarde het omkeerde  is van

    \[\prod_{k=3}^{\infty}\cos \frac{\pi}{k}\]

De eerste die dit deden waren Edward Kasner (1878-1955)  en James Newman (1907-1966). Zij bekwamen een waarde van ongeveer 12. In 1965 gaf een Nederlandse wiskundige Christoffel Bouwkamp (1915-2003) als waarde 8,7000 aan.`

Isogonaal verwantschap

Geplaatst op door

Twee rechten die door het hoekpunt van een hoek gaan en gelijke hoeken vormen met de benen van die hoek, heten isogonaal verwante rechten. In de tekening hierboven zijn de blauwe en rode lijnen in elk hoekpunt isogonaal verwant. De punten P en Q heten isogonaal verwante punten.

Enkele eigenschappen:

  • De isogonaal verwante rechten maken ook gelijke hoeken met de deellijn van de gegeven hoek. Ze zijn elkaars spiegelbeeld rond de deellijn.
  • Het hoogtepunt van een driehoek en het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die driehoek, zijn isogonaal verwante punten.
  • Het product van twee zijden van een driehoek is gelijk aan het product van de middellijn van de omgeschreven cirkel met de hoogtelijn, neergelaten op de derde zijde.
    Immers in driehoek ABS ( S is het voetpunt van de hoogtelijn uit A)  en driehoek ACQ zijn de hoeken in S en Q recht en de hoeken in B en Q zijn gelijk als omtrekshoeken op eenzelfde boog. daardoor zijn de gegeven driehoeken gelijkvormig en uit de evenredigheid van de zijden volgt dan het gestelde.

Oppervlakte vierhoek

Geplaatst op door

Welke convexe vierhoek, met vaste zijden a,b,c en d heeft de grootste oppervlakte?

  • Stel S de oppervlakte van de vierhoek ABCD. Gebruik de formule voor de oppervlakte van een driehoek: de helft van het product van twee zijden en de sinus van de ingesloten hoek : 2S=ab \sin B+cd \sin d.
  • We kunnen de diagonaal AC bepalen via de cosinusregel in de driehoeken ABC en ADC: |AC|^2=a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2-2cd\cos D.
  • Uit de laatste betrekking volgt dat

        \[\frac{1}{2}(a^2+b^2-c^2-d^2)=ab\cos B-cd \cos D\]

  • Kwadrateren  en optellen van de eerste formule en de laatste geeft:

        \[4S^2=a^2b^2+c^2d^2-2abcd\cos(B+D)-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2\]

  • Nu is S maximaal als \cos (B+D) minimaal is, dus gelijk aan -1. Maar dan zijn de hoeken B en D supplementair en is de vierhoek een koordenvierhoek en kan dus ingeschreven worden in een cirkel.
  • Als we deze waarde -1 invullen in de vorige formule en we stellen a+b+c+d=2P, dan kunnen we hieruit die maximale oppervlakte bepalen:

        \[S=\sqrt{(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)}\]

  • Deze formule is een veralgemening van de formule van Heroon voor een driehoek (stel d=0).