Categorie archieven: Meetkunde

Hoeken

Geplaatst op door

Formuleren we een aantal eigenschappen van hoeken:

  • In onderstaande figuur zijn \overhat{S}_1 en \overhat{S}_3 overstaande hoeken. Overstaande hoeken zijn gelijk. De hoeken \overhat{S}_1 en \overhat{S}_4 zijn aanliggende hoeken . Hun som is 180^\circ.
    Daarom noemen we ze nevenhoeken.
  • Hoeken waarvan de benen onderling evenwijdig lopen zijn gelijk of supplementair  
  • Hoeken waarvan de benen onderling loodrecht op elkaar staan, zijn gelijk of supplementair.
      
  • Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet aanliggende binnenhoeken.
  • Een driehoek kan maar 1 rechte hoek en 1 stompe hoek hebben.
  • De som van de hoeken van een driehoek is 180^\circ.
  • De som van de binnenhoeken van een convexe n-hoek is (n-2).180^\circ.
  • Verlengt men, in eenzelfde richting, al de zijden van een convexe veelhoek, dan is de som van de gevonden buitenhoeken gelijk aan 360^\circ.

 

 

 

 

Strofoïde

Geplaatst op door

Analyse is het vakgebied dat zich bezighoudt met eigenschappen van functies, zoals extreme waarden, asymptoten, krommen en de door die krommen omsloten oppervlaktes en hellingen van raaklijnen.

De ontwikkeling van de analyse wordt aan Leibniz en Newton toegeschreven, eind 17e eeuw.  René Descartes (1596-1650) en Pierre de Fermat (1601-1665) zijn twee Fransen die een enorme bijdrage hebben geleverd aan het ontstaan van de analyse. Ze hebben namelijk, onafhankelijk en ongeveer gelijktijdig, de analytische meetkunde bedacht.
Beiden legden het verband tussen vergelijkingen en krommen van punten die aan die vergelijkingen voldoen, op de inmiddels bekende manier: met coördinaten. Fermat ging altijd uit van een kromme, gegeven door een vergelijking, terwijl Descartes een kromme als een meetkundig object zag, waar hij in sommige gevallen een vergelijking aan kon verbinden.

In deze context willen we graag volgende opgave bekijken:

Gegeven is een rechte l en een punt A. Door A worden rechten getrokken, die l snijden. In de figuur ziet men twee van die rechten getekend. Ze snijden l in de punten M_1
en M_2. De punten van de strofoïde ontstaan nu op de volgende wijze: Pas op AM_i en zijn verlengde de stukken M_iP_1 en M_iP_2  af beide gelijk aan M_iO .  De strofoïde is de meetkundige plaats van alle punten P_i die zo geconstrueerd kunnen worden. Met GeoGebra geeft dit :

Om de vergelijking te vinden van deze meetkundige plaats nemen we als X-as de rechte OA en als Y-as de rechte l. Het punt A is gegeven door A(a,0) . Een willekeurige rechte door A heeft als vergelijking y=\lambda(x-a). Het snijpunt M heeft dan coördinaten M(0,-\lambda a). Uitdrukken dat |MO| = |MP| doen we door te eisen dat x^2+(y+\lambda a)^2=\lambda^2 a^2.

De meetkundige plaats van alle punten P vinden we door \lambda te elimineren uit y=\lambda(x-a) en x^2+(y+\lambda a)^2=\lambda^2 a^2. Dit geeft:

    \[y^2=\dfrac{x^2(a-x)}{a+x}\]

.

Deze kubische kromme noemt men de strofoïde. We zien ze een eerste keer verschijnen in het werk van Evangelista Torricelli in 1645. In de naam strofoïde herkennen we het griekse ‘strofos’, wat ‘gedraaide band’ betekent. De uitgang ‘oïde’ betekent ‘met de vorm van’. Met andere woorden een strofoïde is een figuur met de vorm van een gedraaide band.

De sluitingsstelling van Thomsen

Geplaatst op door

Neem een punt P_1 op de zijde [BC] van een driehoek ABC. Trek een evenwijdige met AC en noem het snijpunt met [AB] het punt P_2. Trek van daaruit een evenwijdige met BC en noem het snijpunt met [AC`] het punt P_3. Als je zo verder gaat komt je uiteindelijk terug in het punt P_1. Dit resultaat staat bekend als de sluitingsstelling van Thomsen.

Kies een doorloop zin voor de driehoek zodat een punt de zijde verdeelt in een ‘eerste ‘ en een ’tweede ‘ deel. P_1 verdeelt [BC] in twee stukken met verhouding 1:k. Door de evenwijdigheid zal P_2 dan de zijde [AB] verdelen in 2 stukken met verhouding k:1

De verhouding keert dus om telkens we een andere zijde bereiken. Bij elke  3 stappen zitten we terug op het lijnstuk [BC].. Na 6 stappen komen we dus terug op [BC] en nu is de verhouding van de stukken dezelfde als in het begin. Dus P_7 zal samenvallen met P_1.

 

Dit resultaat danken we aan Gerhard Thomsen , een Duitse wiskundige die leefde van 23/6/1899 tot 4/1/1934.

Evenwijdige rechten

Geplaatst op door

Evenwijdige rechten zijn rechten, die in een zelfde vlak liggen en elkaar niet snijden.

Een paar eigenschappen:

  • Twee rechten die beiden loodrecht staan op een derde rechte, zijn evenwijdig.
  • Door een punt buiten een rechte kan juist één evenwijdige rechte aan de eerste getrokken worden.
  • Twee rechten, die evenwijdig lopen met een derde, lopen onderling evenwijdig.
  • Lopen twee rechten evenwijdig, dan staat een loodlijn op de ene ook loodrecht op de andere.

Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte ontstaan er verschillende soorten van hoeken: verwisselende binnenhoeken (zoals \widehat{O_4} en \widehat{U_2}), verwisselende buitenhoeken (zoals \widehat{O_1} en \widehat{U_3}), overeenkomstige hoeken (zoals \widehat{O_3} en \widehat{U_3}), binnenhoeken aan de zelfde kant van de snijlijn (zoals \widehat{O_3} en \widehat{U_2}) en buitenhoeken aan de zelfde kant van de snijlijn (zoals \widehat{O_2} en \widehat{U_3}).

Enkele eigenschappen:

  • Al de verwisselende binnenhoeken  en al de verwisselende buitenhoeken zijn twee aan twee gelijk.
  • Al de binnenhoeken en al de buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn twee aan twee elkaars supplement.
  • De overeenkomstige hoeken zijn gelijk.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte onder gelijke verwisselende binnenhoeken snijden.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte onder gelijke verwisselende buitenhoeken snijden.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte snijden zodat de binnen- of buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn, gelijk zijn.
  • Twee rechten zijn evenwijdig, als ze een derde rechte onder gelijke overeenkomstige hoeken snijden.

Driehoeken

Geplaatst op door

Bekijken we enkele eigenschappen over zijden en hoeken in een willekeurige driehoek:

  1. De som van de hoeken van een driehoek is 180°
  2. Een buitenhoek van een driehoek is groter dan elke niet aanliggende binnenhoek        (\delta > \alpha en \delta > \beta)
  3. In een driehoek ligt, tegenover een grotere zijde, een grotere hoek en omgekeerd tegenover een grotere hoek ligt een grotere zijde.
  4. Elke zijde van een driehoek is kleiner dan de som van beide andere zijden. Je kan deze eigenschap veralgemenen naar veelhoeken: elke zijde van een veelhoek is kleiner dan de som van de andere zijden.