Categorie archieven: Meetkunde

Hoektransversalen in een driehoek

Geplaatst op door

Neem een driehoek ABC. Een rechte l door een hoekpunt A van de driehoek heet hoektransversaal  of ceviaan van A. We onderzoeken onder welke voorwaarden de hoektransversalen van A,B en C door één punt gaan.

  1. Voor een willekeurig punt P op een hoektransversaal beschouwen we de verhouding van de afstanden tot de twee zijden.
    Omdat \dfrac{P_1R_1|}{|P_1Q_1|}=\dfrac{P_2R_2|}{|P_2Q_2|}, is deze verhouding constant. Noem deze constante v_1 Bij elke transversaal hoort een dergelijke constante. Bereken ze met de klok mee. Nu geldt: De 3 hoektransversalen zijn concurrent als en slechts als v_1v_2v_3=1. Zo geldt bijvoorbeeld voor de binnenbissectrices van een driehoek dat v_1=v_2=v_3=1, dus: de drie binnenbissectrices van een driehoek gaan door één punt.
  2. Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan moet men aan de constanten v_i enkel een ander teken geven. Hetr esultaat van hierboven blijft behouden.
  3. We kunnen een hoektransversaal ook kenmerken door de verhouding u_i van de oppervlaktedelen waarin de driehoek door de ceviaan verdeeld wordt.
    U_1=\dfrac{\text{opp} AA'C}{\text{opp} AA'B}=\dfrac{|A'C|}{|A'B|}. Het is eenvoudig te zien dat u_1u_2u_3=v_1v_2v_3 en dus geldt: De 3 hoektransversalen zijn concurrent als en slechts als u_1u_2u_3=1. Onder deze vorm is de stelling ook gekend als de stelling van Ceva.
  4. Nu geldt bijvoorbeeld voor de zwaartelijnen van een driehoek dat u_1=u_2=u_3=1, dus: de drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt.
  5. We kunnen dit ook ondzerzoeken voor de drie hooigtelijnen.
    u_1=\dfrac{b \cos \gamma}{c \cos \beta}, u_2=\dfrac{c \cos \alpha}{a \cos \gamma} en u_3=\dfrac{a \cos \beta}{b \cos \alpha} en dus is u_1u_2u_3=1. Bijgevolg geldt: de drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt.

Inversie

Geplaatst op door

We kennen de spiegeling rond een rechte als transformatie van het vlak. De dekpunten zijn de punten van de” rechte en lengte en hoeken zijn invarianten. Maar er betaat ook een spiegeling in een cirkel: de inversie. Lees in bijgevoegde tekst  hoe dit tewerk gaat en hoe je die techniek kan gebruiken om bepaalde meetkundige problemen over o.a. orthogonale cirkels en rakende cirkels, eenvoudiger op te lossen.

Het begrip inversie hebben we te danken aan de Zwitserse wsikundieg Jacob Steiner ( 1796-1863). Het wiskundige werk van Steiner beperkte zich tot meetkunde. Hij behandelde dit synthetisch en geheel niet analytisch.

 

Cissoïde van Diocles

Geplaatst op door

Gegeven zijn een kromme K_1 en K_2 en een punt O. Door O trekt men een rechte die K_1 snijdt in P_1 en K_2 in P_2. Op die rechte bepaalt men een punt P zodat |OP|=|OP_1|-|OP_2|. Wanneer men de rechte nu laat draaien rond O, is de meetkundige plaats van de punten P een cissoïde(afkomstige uit het Grieks: kimos = klimop).

De cissoïde van Diocles verkrijgt men als K_1 een rechte is die raakt in een punt A aan een cirkel (K_2). Voor O neem je het punt op de cirkel diametraal tegenover A.

 

 

Neem O als oorsprong van het assenstelsel en de rechte OA als X-as. Veronderstel dat de straal van de cirkel gelijk is aan a. De cirkel heeft als vergelijking (x-a)^2+y^2=a^2 en de raaklijn heeft als vergelijking x=2a. Een willekeurige rechte door O kunnen we voorstellen door y=\lambda x. Dan is P_1(2a,2a\lambda) en P_2(\dfrac{2a}{1+\lambda^2},\dfrac{2a\lambda}{1+\lambda^2}). Om de meetkundige plaats te vinden van de punten P, als de rechte rond O draait, moeten we \lambda elimineren  uit y=\lambda x en uit x=2a-\dfrac{2a}{1+\lambda^2}. Deze laatste voorwaarde bekomen we door de voorwaarde |OP|=|P_1P_2| te projecteren op de X-as. Als resultaat krijgen we

    \[x(x^2+y^2)=2ay^2\]

In Geogebra:

De stellingen van Ceva en Menelaos

Geplaatst op door

Pareltjes uit de oude doos!

De stelling van Ceva zegt : AD, BE en CF snijden elkaar is 1 punt is equivalent met

    \[\dfrac{|AF|}{|FB|}.\dfrac{|BD|}{|DC|}.\dfrac{|CE|}{|EA|}=1\]

Hierbij moeten de verhoudingen opgevat worden als verhoudingen van de overeenkomstige vectoren, zodat de verhouding negatief is als de vectoren tegengesteld zijn. De transversalen AD, BE en CF  worden ook wel Cevianen genoemd. De stelling werd voor het eerst bewezen door Giovanni Ceva in zijn werk De lineis rectis uit 1678. 

Als we stelling van Ceva ‘vertalen’ (  punt wordt lijn en lijn wordt punt, lijn gaat door punt wordt punt ligt op lijn, snijpunt van 2 lijnen wordt verbindingslijnstuk van 2 punten) krijgen we de stelling van Menelaos:

Drie punten, D,E en F, gelegen op de zijden van een driehoek, liggen op één lijn als en slechts als 

    \[\dfrac{|AF|}{|FB|}.\dfrac{|BD|}{|DC|}.\dfrac{|CE|}{|EA|}=-1\]

Merk op dat de verhouding positief is als F tussen A en B ligt, en negatief als F buiten het lijnstuk AB ligt.

 

De limaçon van Pascal

Geplaatst op door

Een andere voorbeeld van een ‘meetkundige’ kromme is de Limaçon van Pascal. Neem een willekeurig punt A op een cirkel met straal r. Teken door A een rechte l die de cirkel een tweede keer snijdt in P. Construeer 2 punten op l die op een afstand a van P liggen: Q_1 en Q_2. Bepaal de meetkundige plaats van deze punten als de rechte l rond A draait.

Neem de oorsprong van het assenstelsel in het middelpunt van de gegeven cirkel en de X-as door A. De rechte l heeft als vergelijking: y=\lambda (x-r). Het andere snijpunt van l met de gegeven cirkel is P(r.\dfrac{\lambda^2-1}{\lambda^2+1},-2r.\dfrac{\lambda}{\lambda^2+1}). Om de meetkundige plaats te kennen van de punten Q_1 en Q_2 moeten we \lambda elimineren uit y=\lambda (x-r) en uit de vergelijking van de cirkel met middelpunt P en straal a. Dit geeft na wat berekeningen:

    \[(x^2+y^2-r^2)^2=a^2[(x-r)^2+y^2]\]

Met Geogebra krijgen we 3 constructies:

  1. Als a<2r: 
  2. Als a=2r, dan krijgen we de cardioïde:
  3. Als a>2r: 

Deze kromme, de Limaçon van Pascal, wordt genoemd naar deFranse jurist en wiskundige Etienne Pascal ( 1588-1651), de vader van, de ons meer bekende, Blaise Pascal. Vroeger onderzoek werd reeds gedaan door Dürer. De naam werd gegeven door Gilles  de Roberval. Limaçon is het Franse woord voor ‘slak’.