Salinon

Geplaatst op 26 april 2018 door admin

De salinon is een figuur gevormd door 4 halve cirkels.

Het woord salinon komt uit het Grieks en betekent ‘zoutvaatje’. Als de straal van de grote halve cirkel R is en de straal van de kleine cirkel in het midden r is, dan is de straal van de andere 2 kleine halve cirkel gelijk aan $\dfrac{R-r}{2}$ .

In het Boek der Lemmas, bewees Archimedes dat de oppervlakte van de salinon gelijk is aan de oppervlakte van een cirkel gegeven in onderstaande figuur en die is $\dfrac{1}{4}\pi(R+r)^2$ .

Arbelos

Geplaatst op 24 april 2018 door admin

De arbelos is een meetkundige guur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.

De arbelos is geïntroduceerd door Archimedes in zijn Liber assumptorum. Het woord arbelos komt uit het Grieks, en betekent schoenmakersmes.

In volgende tekst kan je enkele leuke eigenschappen van de arbelos bestuderen. Dit is vrij eenvoudige meetkunde met eigenschappen van de cirkel.

Constructies in verband met verdeling

Geplaatst op 4 maart 2018 door admin

Het gaat hier over constructies waarbij een bepaald element in een bepaalde verhoudinhg moet verdeeld worden.

Voorbeeld: Verdeel een gegeven driehoek ABC , door een evenwijdige MN aan BC , zodat de oppervlakte van driehoek AMN gelijk is aan $\dfrac{9}{16}$ van de oppervlakte van driehoek ABC.

Noteer de oppervlakte van driehoek ABC door S(ABC). Dan moet
S(AMN) = $\dfrac{9}{16}$ S(ABC) = $\dfrac{9}{16}$ . $\dfrac{1}{2}$ a.h. En dit betekent dat men een verdeling moet vinden zodanig dat $\dfrac{9}{16}a.h=\dfrac{a}{x}.\dfrac{h}{x}$ . Hieruit volgt dat $x=\dfrac{4}{3}$ , zodat de te construeren a’ en h’ gelijk moeten zijn aan $a'=\dfrac{3}{4}a$ en $h'=\dfrac{3}{4}h$ .

Verdeel AB in 4 gelijke delen en trek door M een evenwijdige met BC. Via de stelling van Thales weten we dat $|MN|=\dfrac{3}4}|BC|$ en ook de hoogtes van de twee driehoeken AMN en ABC verhouden zich volgens de breuk $\dfrac{3}{4}$

Constructies in verband met verhoudingen

Geplaatst op 3 maart 2018 door admin

In tegenstelling tot de constructies in verband met ontoegankelijkheid, waarbij spiegelingen gebruikt worden, zijn het nu de homothetieën die een hoofdrol spelen. Hierbij worden de afstanden niet bewaard, maar wel de onderlinge verhoudingen. Hierdoor wordt het mogelijk bepaalde gegevens in een zelfgekozen situatie te simuleren om ze dan door een homothetie over te brengen naar de gekozen situatie. Hiervoor maken we gebruik van de stelling van Thales

De belangrijke keuze die men dient te maken is het kiezen van het centrum en een koppel punten.

Voorbeeld: Construeer in een driehoek ABC een lijnstuk $[MN]$ met M op AB , N op AC en MN evenwijdig met BC zodat $|NC|=3|MN|$

Verleng AB en AC en teken DE evenwijdig met BC.
Construeer F op AC zodat $|FD|=3|DE|$ .
Neem de homothetie met centrum A en met koppel $(C,F)$ .
Bepaal het beeld van DE onder deze homothetie: Dit geeft het gevraagde lijnstuk MN.

Constructies in verband met ontoegankelijkheid

Geplaatst op 14 februari 2018 door admin

We bestuderen constructies die we normaal gesproken wel kunnen uitvoeren, maar die nu niet uit te voeren zijn omdat bepaalde delen van de figuur ontoegankelijk zijn. Om zulke constructies uit te voeren zijn spiegelingen rond een as uitermate geschikt. We weten immers dat een spiegeling evenwijdigheid, loodrechtheid en ook afstanden en hoeken bewaart. Hierdoor wordt het mogelijk bepaalde gegevens toch bereikbaar te maken.

Bepaal de bissectrice van de twee gegeven rechten.}

Teken een willekeurige rechte $m$ die de twee gegeven rechten (die we $a$ en $b$ noemen) snijdt.
Spiegel de gegeven rechten rond $m$ : $a'$ en $b'$ .
Bepaal het snijpunt $S$ van $a'$ en $b'$ .
Construeer de bissectrice $d$ van $a'$ en $b'$ . Dit is een basisconstructie.
Bepaal tenslotte het spiegelbeeld $d'$ , bij spiegeling van $d$ rond $m$ .

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Meetkunde