Categorie archieven: Meetkunde

Nootje 55

Geplaatst op door

Bepaal de oppervlakte  van het blauwe deel, beschreven door twee halve cirkels in een vierkant met zijde 8 cm.

Antwoord

De ladder stelling

Geplaatst op door

Er is een verband tussen de hoogtes  gegeven in onderstaande tekening.

Deze stelling kan je gebruiken om in onderstaande tekening de oppervlakte van het witte deel te bepalen. Door de ladder stelling een aantal keer te gebruiken  met hoogtes uit E,F en D en eveneens vanuit B en C tot aan de verlengdes van de zijden AC en AB vinden we een verband tussen de oppervlaktes van driehoeken met BC als basis. Noteer met x , y en z de oppervlakte van respectievelijk de driehoeken BEF,BFC en FDC. Noteer met a de oppervlakte van driehoek ABC, dan geldt :

    \[\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}\]

Neem bijvoorbeeld x=3, y=9 en  z=6,  en noteer w voor de witte oppervlakte :

    \[\dfrac{1}{w+18}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{15}\]

Hieruit volgt dat w=\dfrac{54}{7}

 

De stelling van Holditch

Geplaatst op door

Begin met een convexe kromme en laat binnen de kromme een lijnstuk  langs de kromme bewegen, waarbij de uiteinden steeds op de kromme moeten blijven liggen. Op dat lijnstuk nemen we een punt dat het lijnstuk verdeeld in twee delen a en b. Als het lijnstuk beweegt, beschrijft dat punt een nieuwe kromme  binnen de eerste kromme. De stelling van Holditch zegt nu dat de oppervlakte tussen de twee krommen altijd gelijk is aan \pi ab.

De stelling werd in 1858 gepubliceerd door de Engelse wiskundige Hamer Holditch (1800-1867).

Een voorbeeld :

Merk op dat als de beginkromme een cirkel is, de tweede kromme ook een cirkel is.

Vlinderstelling

Geplaatst op door

 

 


Neem een willekeurige koorde PQ met midden M. Trek door M twee willekeurige koorden AB en CD. Verbind A met D en C met B. AD en BC snijden de oorspronkelijke koorde PQ respectievelijk in X en Y. De vlinderstelling zegt nu dat M ook het midden is van XY. 

Dit probleem werd het eerst gesteld door William Wallace (Schots wiskundige 1768-1843)  in The Gentleman’s Mathematical Companion (1803). In 1804 werden er drie oplossingen ingezonden. 

Waarom vlinderstelling of butterfly theorema?