Categorie archieven: Kleine nootjes

Bericht navigatie

Geplaatst op 6 oktober 2022 door admin

Gegeven is een veelterm waarvan de coëfficiënten natuurlijke getallen zijn. Hoe kan je met zo weinig mogelijk evaluaties met natuurlijke getallen( berekenen van een getalwaarde) de coëfficiënten bepalen? Probeer eerst eens als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10.

Spoiler

Noem de veelterm P(x).
Als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10, volstaat 1 evaluatie. Bereken P(10).
Neem een voorbeeld als test: $P(x)=x^3+4x+8$ . Dan is $P(10)=10^3+4*10+8=1048$ . In deze uitkomst kan je de coëfficiënten inderdaad aflezen.
Wat nu als de de bovengrens van 10 niet meer geldig is. Dan hebben we 2 evaluaties nodig.
De eerste evaluatie dient om de bovengrens van de coëfficiënten te bepalen. Bereken P(1). Dan bestaat er een natuurlijk getal k zodat $P(1)<10^k$ . Bijgevolg is elke coëfficiënt kleiner dan $10^k$ .
De tweede evaluatie is dan $P(10^k)$ .
Testje? Neem $P(x)=12x^3+145x+88$ . dan is $P(1)=245<10^3$ . Neem $k=3$ en bereken $P(10^3)$ . Dit geeft 12.000.145.088. Opgedeeld in vakjes van $k=3$ cijfers krijgen we de gevraagde coëfficiënten.

Nootje 28

Geplaatst op 9 augustus 2022 door admin

Toon aan dat de som van de breuken $\frac{a-b}{1+ab},\frac{b-c}{1+bc},\frac{c-a}{1+ac}$ gelijk is aan hun product.

Spoiler

Noem die breuken A,B en C. Je zou A+B+C en A.B.C kunnen uitrekenen maar dat ziet er niet leuk uit…
De vorm van de breuk doet me echter denken aan de formule van de tangens van een verschil:
Vermits a,b en c reële getallen zijn bestaan er getallen $\alpha,\beta ,\gamma$ met $-\frac{\pi}{2}<\alpha,\beta,\gamma<\frac{\pi}{2}$ zodat $a=\tan \alpha,b=\tan \beta$ en $c=\tan \gamma$ .
We moeten dan bewijzen dat $\tan(\alpha-\beta)+\tan(\beta-\gamma)+\tan(\gamma-\alpha)=\tan(\alpha-\beta)*\tan(\beta-\gamma)*\tan(\gamma-\alpha)$ .
Of als $x+y+z=0$ , dat $\tan x+\tan y+\tan z=\tan x*\tan y*\tan z$ .
Dit is vrij simpel: begin met het linkerlid en vervang z door $-(x+y)$ .

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged goniometrie, kleine nootjes, substitutie, tangens van et verschil van twee hoeken

Nootje 27

Geplaatst op 14 juli 2022 door admin

Spoiler

We zoeken de grootste waarde van een natuurlijk getal x waarvoor $\sqrt{x^2-2021}$ een natuurlijk getal is. Noem dit getal n.
Dan geldt: $x^2-2021=n^2$ of $x^2-n^2=2021$
2021 heeft 4 delers: 1,43,47 en 2021.
Dus is $(x-n)(x+n)=1.2021$ of $(x-n)(x+n)=43.47$
Uit de eerste gelijkheid volgt dat $x-n=1$ en $x+n=2021$ . Bijgevolg is $x=1011$ en $n=1010$ .
Uit de tweede gelijkheid volgt dat $x-n=43$ en $x+n=47$ . Bijgevolg is $x=45$ en $n=2$ .
De grootst mogelijk waarde van x is dus 1011.

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged kleine nootjes, ontbinden in factoren, problem solving, wiskunde

Nootje 26

Geplaatst op 8 juni 2022 door admin

Spoiler

$\tan x =1$ , $\tan y =2$ en $\tan z =3$ .
Maar dan is
$\tan(x+y+z)=\frac{\tan(x+y)+\tan z}{1-\tan(x+y).\tan z}$
$\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x.\tan y}=\frac{1+2}{1-2}=-3$
Bijgevolg is $\tan(x+y+z)=0$ en dus is $x+y+z=k.\pi$ .
Uit de tekening volgt dan dat $x+y+z=\pi$ .

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged goniometrie, problem solving, som formules tangens, tangens

Nootje 25

Geplaatst op 17 februari 2022 door admin

Bereken de lengte van de middellijn y.

Antwoord

We gaan de situatie algemener oplossen:
We gebruiken twee keer de stelling van Pythagoras om OP te bepalen ( rechte hoek in T omdat het raakt; rechte hoek in P wegens eigenschap apothema):
$|OP|^2=(\frac{a-b}{2})^2+(\frac{y}{2})^2=(\frac{a+b}{2})^2-(\frac{y}{2})^2$
Hieruit vinden we dat $y^2=2ab$
De opgave met a = 2 en b = 1 geeft dan dat $y=2$ .