Nootje 32

Geplaatst op 23 maart 2023 door admin

Antwoord

Neem de veelterm V(x) met a,b en c als wortels.
Dan is $V(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ .
Uitgewerkt geeft dit: $V(x)=x^3-S_1x^2+S_2x-S_3$ . Hierbij is $S_1=a+b+c=1$ , $S_2=ab+bc+ac=2$ en $S_3=abc=3$ .
Bijgevolg is $V(x)=x^3-x^2+2x-3$ met $V(a)=V(b)=V(c)=0$ .
Hieruit volgt dat $a^3=a^2-2a+3$ . En dus is $a^4=a^3-2a^2+3a=-a^2+a+3$ . Er zijn gelijkaardige formules voor b en c.
Nu is $a^4+b^4+c^4=-(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)+9=-((a+b+c)^2-2(ab+ac+bc))+10=13$ .

Nootje 31

Geplaatst op 26 december 2022 door admin

Gegeven is $A=\begin{pmatrix} \cos x&-\sin x\\ \sin x &\cos x \end{pmatrix}$ . Bereken $A^{-50}$ voor $x=15^{\circ}$ .

Antwoord

Het zal zeker niet de bedoeling zijn om deze macht uit te rekenen.
Matrix A is eigenlijk de matrix voorstelling van het complex getal
$\cos x + i \sin x$
Gebruik van de formule van Lemoivre geeft
$A^{-50}=\begin{pmatrix} \cos -50x&-\sin -50x\\ \sin -50x &\cos -50x \end{pmatrix}$
Nu is $-50x=-750^{\circ}$ . We mogen altijd een veelvoud van $360^{\circ}$ bijvoegen zodat:
$A^{-50}=\begin{pmatrix} \cos -30^{\circ}&-\sin -30^{\circ}\\ \sin -30^{\circ} &\cos -30^{\circ} \end{pmatrix}$
Uitrekenen geeft
$A^{-50}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sqrt{3}&1\\-1&\sqrt{3}\end{pmatrix}$

Nootje 30

Geplaatst op 4 november 2022 door admin

Bereken $|AB|$ :

“Antwoord”

Construeer vanuit het middelpunt van de kleine cirkel een loodlijn op de straal uit A in de grote cirkel. AB staat , als gemeenschappelijke raaklijn aan de twee cirkels, loodrecht op de stralen in A en B.
Uit de stelling van Pythagoras volgt dan: $|AB|=x=\sqrt{(28+18)^2-10^2}=12\sqrt{14}$ .

Nootje 29

Geplaatst op 6 oktober 2022 door admin

Gegeven is een veelterm waarvan de coëfficiënten natuurlijke getallen zijn. Hoe kan je met zo weinig mogelijk evaluaties met natuurlijke getallen( berekenen van een getalwaarde) de coëfficiënten bepalen? Probeer eerst eens als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10.

Spoiler

Noem de veelterm P(x).
Als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10, volstaat 1 evaluatie. Bereken P(10).
Neem een voorbeeld als test: $P(x)=x^3+4x+8$ . Dan is $P(10)=10^3+4*10+8=1048$ . In deze uitkomst kan je de coëfficiënten inderdaad aflezen.
Wat nu als de de bovengrens van 10 niet meer geldig is. Dan hebben we 2 evaluaties nodig.
De eerste evaluatie dient om de bovengrens van de coëfficiënten te bepalen. Bereken P(1). Dan bestaat er een natuurlijk getal k zodat $P(1)<10^k$ . Bijgevolg is elke coëfficiënt kleiner dan $10^k$ .
De tweede evaluatie is dan $P(10^k)$ .
Testje? Neem $P(x)=12x^3+145x+88$ . dan is $P(1)=245<10^3$ . Neem $k=3$ en bereken $P(10^3)$ . Dit geeft 12.000.145.088. Opgedeeld in vakjes van $k=3$ cijfers krijgen we de gevraagde coëfficiënten.

Nootje 28

Geplaatst op 9 augustus 2022 door admin

Toon aan dat de som van de breuken $\frac{a-b}{1+ab},\frac{b-c}{1+bc},\frac{c-a}{1+ac}$ gelijk is aan hun product.