Wiskunde is leuk

Nootje 37

Geplaatst op 11 juni 2023 door admin

Antwoord

Vermoedelijk een toepassing op de stelling van Pythagoras….
Men kan gemakkelijk bewijzen dat
$|PD|^2+|PB|^2=|PA|^2+|PC|^2$
Dit resultaat wordt weleens de stelling van de Britse vlag genoemd, naar de vergelijking met de Union Jack
Voor ons probleem is dus $x^2+4=36+49$ , dus is $x=9$ .

Nootje 36

Geplaatst op 27 mei 2023 door admin

Vind alle niet complexe oplossingen van
$(2x+1)(3x+1)(5x+1)(30x+1)=10$

Antwoord

Alles uitrekenen geeft een vierdegraadsvergelijking, die waarschijnlijk niet op te lossen is.
We gaan de factoren in het linkerlid twee per twee uitrekenen: de eerst met de laatste en de twee middelsten.
De opgave wordt dan: $(15x^2+8x+1)(60x^2+32x+1)=10$ .
We merken op dat de twee eerste termen van de tweede factor het viervoud zijn van de eerste twee termen van de eerste factor. Stel $15x^2+8x=y$
We krijgen dan $(y+1)(4y+1)=10$ of na uitwerken $4y^2+5y-9=0$ .
Deze vierkantsvergelijking heeft als oplossingen 1 en $-2,25$ .
Vervangen we y terug dan verkrijgen we twee vergelijkingen van de tweede graad. De eerste $15x^2+8x-1=0$ geeft als oplossingen $\frac{-4\pm \sqrt{31}}{15}$ .
De tweede vergelijking wordt $15x^2+8x+2,25=0$ en deze heeft geen reële oplossingen.
De enige niet complexe oplossingen zijn dus
$\frac{-4\pm \sqrt{31}}{15}$

Nootje 35

Geplaatst op 19 mei 2023 door admin

Zoek een getal van 6 cijfers dat begint en eindigt met een 2 en het product is van 3 opeenvolgende even getallen.

Antwoord

Even getallen eindigen steeds op 0,2,4,6 of 8.
Het product van drie opeenvolgende even getallen eindigt dan op $0*2*4$ , $2*4*6$ , $4*6*8$ of $6*8*0$ .
Enkel de combinatie $4*6*8$ eindigt dus op een 2.
Nu is $50^3=125000$ en $60^3=216000$ .
Bijgevolg zijn de getallen: 64,66 en 68 en hun product is 287232.

Nootje 34

Geplaatst op 15 mei 2023 door admin

Bereken de som van de coëfficiënten van de veelterm P(x) als
$(10x^{34}+2x^3+5)P(x)=2023x^{2023}$

Antwoord

Het is handig te weten dat de som van de coëfficiënten van een veelterm kan berekend worden door de getalwaarde van 1 te berekenen, dus $P(1)$ .
Vullen we 1 in bij de gegeven identiteit, dan vinden we: $(10+2+5)P(1)=2023$ ;
Hieruit volgt dat $P(1)=119$
De som van de coëfficiënten van de veelterm Px) is dus 119.

Nootje 33

Geplaatst op 13 mei 2023 door admin

Vind $x-y$ als gegeven is dat $x^4=y^4+24$ , $x^2+y^2=6$ en $x+y=3$ .

Antwoord

Om de 2 onbekenden x en y uit te rekenen heb je eigenlijk maar 2 vergelijkingen nodig. Dan kan je ook $x-y$ uitrekenen. Maar waarschijnlijk is dat wel niet de bedoeling.
Omdat $x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$ , vinden we uit de eerste betrekking dat $24=(x-y)*3*6$ ;
Hieruit volgt dan dat $x-y=\frac{4}{3}$ .