Categorie archieven: Kleine nootjes

Bericht navigatie

Geplaatst op 3 augustus 2024 door admin

De functie f is gedefinieerd op de verzameling geordende paren positieve getallen en voldoet aan : $f(x,x)=x$ , $f(x,y)=f(y,x)$ en $f(x,y).(x+y)=y.f(x,x+y)$ . Bereken $f(14,52)$

Antwoord

$f(14,52)=f(14,14+38)$ . Pas nu regel 3 toe:
$f(12,52)=\frac{52}{38}f(14,38)$ . Nu is $38=14+24$ . Pas opnieuw regel 3 toe en we krijgen:
$f(12,52)=\frac{52}{24}f(14,14+10)$ . Nogmaals regel 3:
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(14,10)$
We draaien de argumenten om volgens regel 2 en we vinden
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(10,14)$
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(10,10+4)=\frac{52}{10}.\frac{14}{4}.f(10,4)$
Omdraaien : $f(12,52)=\frac{91}{5}.f(4,4+6)=\frac{91}{3}.f(4,4+2)$
Nog maar een keer regel 3 geeft : $f(12,52)=91.f(4,2)=91.f(2,2+2)$ .
Uiteindelijk bekomen door regel 3 en regel 1 het antwoord:
$f(14,52)=91.2.f(2,2)=91.2.2=364$

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged kleine nootjes, problemsolving

Nootje 48

Geplaatst op 17 mei 2024 door admin

Bepaal alle drietallen natuurlijke getallen a,b,c waarvoor a.b.c=1989 en a+b+c=89

Antwoord

De oplossing is symmetrisch in a,b en c.
Redeneren we eventjes op c, dan moet c moet een deler zijn van $1989=3^2.13.17$ .
De delers van 1989 zijn: $1,3,9,13,17,39,51,117,153,221,663,1989$ .
Bij een keuze van c moeten we nog het stelsel oplossen:
$\begin{cases}a+b=89-c \\ a.b=\frac{1989}{c}\end{cases}$
Noteer $S=a+b$ en $P=a.b$ , dan zijn a en b oplossingen van de vergelijking
$x^2-Sx+P=0$
$S=89+c$ ; Omdat c oneven is , zal S dus even zijn en moet de discriminant $S^2-4P$ een kwadraat zijn van een even getal ( anders zijn a en b geen natuurlijke getallen).
Voor $c=1$ is $S=90$ en $P=1989$ . In dat geval is de discriminant gelijk aan 144 en vinden we dat $a=39$ en $b=51$ .
Voor $c=1$ krijgen we dus als oplossingen de drietallen $(39,51,1)$ en $(51,39,1)$ .
Door de symmetrie zijn de andere oplossingen dan $(1,39,51),(1,51,39),(39,1,51),(51,1,39)$ .

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged oplossen stelsel, vierkantsvergelijking

Nootje 47

Geplaatst op 6 mei 2024 door admin

Antwoord

In de rechthoekige driehoek CHD geldt: $|CD|=3.5$ en $|HD|=6-1.5-2=2.5$ .
Gebruik de stelling van Pythagoras : $|CH|=\sqrt{3.5^2-2.5^2}=\sqrt{6}$
In de rechthoekige driehoek FDE geldt: $|FD|=1$ en $|DE|=5$ .
Opnieuw Pythagoras toepassen geeft $|FE|=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ .
Nu is $|AB|=|CH|+|FE|=3\sqrt{6}$

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged kleine nootjes, Pythagoras, rakende cirkels

Nootje 46

Geplaatst op 4 april 2024 door admin

Bereken

$(\frac{1+i\sqrt{7}}{2})^8+(\frac{1-i\sqrt{7}}{2})^8$

Antwoord

Een mogelijkheid is om het binomium van Newton te gebruiken. Gaan we niet doen…
Stel $\frac{1+i\sqrt{7}}{2}=a$ en $\frac{1+i\sqrt{7}}{2}=b$ .
Dan is $A=a^8+b^8$ .
Nu is het duidelijk dat $a+b=1$ en $ab=2$ .
We weten dat $a^8+b^8=(a^4+b^4)^2-2a^4b^4$ . Analoog is $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$ en evenzo is $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ .
De laatste betrekking leert ons dat $a^2+b^2=1^2-2*2=-3$ .
Dan is $a^4+b^4=(-3)^2-2*2^2=1$ .
Tenslotte is $A=1^2-2*2^4=-31$ .

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged kleine nootjes, merkwaardige producten, problem solving

Nootje 45

Geplaatst op 10 maart 2024 door admin

Zoek een getal van 4 cijfers, waarbij elk cijfer kleiner is dan 7. Het getal is een kwadraat en als je bij elk cijfer 3 optelt bekom je opnieuw een getal dat een kwadraat is.

Antwoord

Noteer met x het gezochte getal.
Dan kan je schrijven dat $x=p^2$ met p tussen 31 en 100.
Elk cijfer mer 3 vermeerderen betekent dat je 3333 optelt bij x.
Deze uitkomst is weer het kwadraat van een getal: Noteer dit als $q^2$ .
Dan is $q^2-p^2=3333$ of $(q-p)(q+p)=3333$ .
Nu kan je 3333 schrijven als $1.3333=3.1111=11.303=33.101$ .
Zo bekom je bvb het stelsel $q+p=101$ en $q-p=33$ , waaruit volgt dat p=34
De andere mogelijkheden leveren geen oplossing op voor p tussen 32 en 100.
Het gezocht getal is dus $34^2=1156$

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged getallen leer, kleine nootjes, ontbinden in factoren, problem solving

Bericht navigatie

← Oudere berichten

Nieuwere berichten →

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Kleine nootjes

Nootje 49

De functie f is gedefinieerd op de verzameling geordende paren positieve getallen en voldoet aan : $f(x,x)=x$ , $f(x,y)=f(y,x)$ en $f(x,y).(x+y)=y.f(x,x+y)$ . Bereken $f(14,52)$

Nootje 48

Bepaal alle drietallen natuurlijke getallen a,b,c waarvoor a.b.c=1989 en a+b+c=89

Nootje 47

Nootje 46

Bereken

Nootje 45

Zoek een getal van 4 cijfers, waarbij elk cijfer kleiner is dan 7. Het getal is een kwadraat en als je bij elk cijfer 3 optelt bekom je opnieuw een getal dat een kwadraat is.

De functie f is gedefinieerd op de verzameling geordende paren positieve getallen en voldoet aan : , en . Bereken

Bepaal alle drietallen natuurlijke getallen a,b,c waarvoor a.b.c=1989 en a+b+c=89

Bereken

Zoek een getal van 4 cijfers, waarbij elk cijfer kleiner is dan 7. Het getal is een kwadraat en als je bij elk cijfer 3 optelt bekom je opnieuw een getal dat een kwadraat is.

De functie f is gedefinieerd op de verzameling geordende paren positieve getallen en voldoet aan : $f(x,x)=x$ , $f(x,y)=f(y,x)$ en $f(x,y).(x+y)=y.f(x,x+y)$ . Bereken $f(14,52)$