Nootje 46

Geplaatst op 4 april 2024 door admin

Bereken

$(\frac{1+i\sqrt{7}}{2})^8+(\frac{1-i\sqrt{7}}{2})^8$

Antwoord

Een mogelijkheid is om het binomium van Newton te gebruiken. Gaan we niet doen…
Stel $\frac{1+i\sqrt{7}}{2}=a$ en $\frac{1+i\sqrt{7}}{2}=b$ .
Dan is $A=a^8+b^8$ .
Nu is het duidelijk dat $a+b=1$ en $ab=2$ .
We weten dat $a^8+b^8=(a^4+b^4)^2-2a^4b^4$ . Analoog is $a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$ en evenzo is $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ .
De laatste betrekking leert ons dat $a^2+b^2=1^2-2*2=-3$ .
Dan is $a^4+b^4=(-3)^2-2*2^2=1$ .
Tenslotte is $A=1^2-2*2^4=-31$ .

Geplaatst op 10 maart 2024 door admin

Antwoord

Geplaatst op 27 december 2023 door admin

Bereken

$A= \sqrt{p^{12}-127}$

als je weet dat zowel $p$ als $p^{12}+3$ priemgetallen zijn.

“Antwoord“

$p^{12}+3$ is een priemgetal groter dan 3, dus oneven. Bijgevolg moet $p^{12}$ zelf even zijn.
Maar dan ist $p=2$ .
Dan is $p^{12}-127=4096-127=3969$ .
Dus is $A=63$

Geplaatst op 24 december 2023 door admin

Zoek de oppervlakte van de getekende cirkel.

Antwoord

Noem de rechthoekzijden van de rechthoekige driehoeken a en b.
Dan is $a*b=2*24=48$ .
De totale oppervlakte van het grote vierkant is 100 plus vierkeer de rechthoekige driehoek met oppervlakte 24, dus 196. Bijgevolg is de zijde van het grote vierkant gelijk aan 16. Dus is $a+b=16$
Uit de twee betrekkingen met a en b vinden we dan dat $a=8$ en $b=6$ .
Nu weten we dat de oppervlakte van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de straal van de ingeschreven cirkel vermenigvuldigd met de halve omtrek van de driehoek. Bijgevolg is de straal gelijk aan 2.
De oppervlakte van de getekende cirkel is $4\pi$ .