Nootje 51

Geplaatst op 25 oktober 2024 door admin

20 leerlingen van een zelfde klas versturen in december elk 10 wenskaarten naar 10 verschillende klasgenoten. Toon aan dat er minstens twee leerlingen zijn die een kaart naar elkaar sturen.

“Antwoord“

Dit doet me denken aan het duivenhokprincipe of principe van Dirichlet: Wanneer n + 1 duiven in n hokken neerstrijken, dan is er altijd minstens 1 hok met minstens twee duiven.
De hokken zijn de koppels leerlingen: hiervoor moet je het aantal 2-combinnatir nemen van 20 elementen en dat is $\binom{20}{2}=190$ .
De duiven zijn de brieven: zo zijn er $20*10=200$
Bijgevolg heeft minstens 1 koppel twee brieven en zijn er dus zeker twee leerlingen die aan elkaar geschreven hebben.

Geplaatst op 24 september 2024 door admin

Antwoord

Twee maal de stelling van Pythagoras toepassen geeft: $x^2=4a^2+b^2$ en $y^2=4b^2+a^2$ .
We tellen deze vergelijkingen op : $x^2+y^2=5(a^2+b^2)$ .
Omdat nu $x^2+y^2=5$ ,volgt hieruit dat $a^2b^2=1$ .
Pas nogmaals Pythagoras toe in de driehoek ABC en dan vinden we dat $|AB|^2=9a^2+9b^2=9$ .
Bijgevolg is
$|AB|=3$

Geplaatst op 3 augustus 2024 door admin

Antwoord

$f(14,52)=f(14,14+38)$ . Pas nu regel 3 toe:
$f(12,52)=\frac{52}{38}f(14,38)$ . Nu is $38=14+24$ . Pas opnieuw regel 3 toe en we krijgen:
$f(12,52)=\frac{52}{24}f(14,14+10)$ . Nogmaals regel 3:
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(14,10)$
We draaien de argumenten om volgens regel 2 en we vinden
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(10,14)$
$f(12,52)=\frac{52}{10}f(10,10+4)=\frac{52}{10}.\frac{14}{4}.f(10,4)$
Omdraaien : $f(12,52)=\frac{91}{5}.f(4,4+6)=\frac{91}{3}.f(4,4+2)$
Nog maar een keer regel 3 geeft : $f(12,52)=91.f(4,2)=91.f(2,2+2)$ .
Uiteindelijk bekomen door regel 3 en regel 1 het antwoord:
$f(14,52)=91.2.f(2,2)=91.2.2=364$

Geplaatst op 17 mei 2024 door admin

Antwoord

De oplossing is symmetrisch in a,b en c.
Redeneren we eventjes op c, dan moet c moet een deler zijn van $1989=3^2.13.17$ .
De delers van 1989 zijn: $1,3,9,13,17,39,51,117,153,221,663,1989$ .
Bij een keuze van c moeten we nog het stelsel oplossen:
$\begin{cases}a+b=89-c \\ a.b=\frac{1989}{c}\end{cases}$
Noteer $S=a+b$ en $P=a.b$ , dan zijn a en b oplossingen van de vergelijking
$x^2-Sx+P=0$
$S=89+c$ ; Omdat c oneven is , zal S dus even zijn en moet de discriminant $S^2-4P$ een kwadraat zijn van een even getal ( anders zijn a en b geen natuurlijke getallen).
Voor $c=1$ is $S=90$ en $P=1989$ . In dat geval is de discriminant gelijk aan 144 en vinden we dat $a=39$ en $b=51$ .
Voor $c=1$ krijgen we dus als oplossingen de drietallen $(39,51,1)$ en $(51,39,1)$ .
Door de symmetrie zijn de andere oplossingen dan $(1,39,51),(1,51,39),(39,1,51),(51,1,39)$ .