Getaltheorie | Wiskunde is leuk

Elk samengesteld getal kan geschreven worden als het product van kleinere factoren. Als minstens 1 van beide samengesteld is , kan men die ook weer schrijven als product van kleinere factoren. Zo kan men doorgaan tot er slechts priemgetallen als factoren overblijven. men kan een samengesteld getal in het algemeen op verschillende manieren via een aantal tussenstappen in priemgetallen ontbinden. Het uiteindelijk resultaat, de ontbinding in priemfactoren, is steeds hetzelfde. Dit resultaat staat bekend als de hoofdstelling van de rekenkunde:

$\begin{center}De ontbinding in priemfactoren van een \\ natuurlijk getal is eenduidig bepaald.\end{center}$

Deze eigenschap is in andere getalsysytemen niet noodzakelijk waar. Beschouw de verzameling van de even getallen $\left\{2,4,6,\cdots \right\}$ . Sommige ervan kan men schrijven als het product van even factoren, bijvoorbeeld $20=2.10$ . Bij andere is dat niet mogelijk. We noemen even getallen die niet het product zijn van even factoren even-priemgetallen. Een even getal is te schrijven als product van even-priemgetallen, maar zo een ontbinding hoeft niet eenduidig te zijn. Zo is $420=6.70=10.42$

Als een getal ontbonden is in priemfactoren, dan kan men het aantal delers bepalen. Stel dat $n=2^{e_1}.3^{e_2}.5^{e_3}. \ldots .p_k^{e_k}$ dan heeft $n$ juist $(e_1+1)(e_2+1)(e_3+1).\ldots.(e_k+1)$ delers.

De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder , van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk onder de verzameling van de natuurlijke getallen te verstaan de verzameling $\mathbb{N}=\left\{1,2,\cdots \right\}$ , 0 wordt dan dus niet tot $\mathbb{N}$ gerekend.

Een getal $a$ is een deler van $b$ als er een geheel getal $n$ bestaat waarvoor geldt dat $b=a.n$ . We noteren $a|b$ . We noemen $b$ dan een veelvoud van $a$ .

Bij elk tweetal natuurlijke getallen $a$ en $b$ bestaan er gehele getallen $q$ ( voor quotiënt ) en $r$ ( voor rest ) zo , dat

$b=q.a+r \qquad \hbox {met} \qquad 0\leq r < a$

Een natuurlijk getal, groter dan 1, dat geen delers heeft buiten 1 en zichzelf noemt men een priemgetal. Een getal, groter dan 1, dat geen priemgetal is heet een samengesteld getal. Het getal 1 is dus per definitie noch priem noch samengesteld.

Een paar eigenschappen :

Elke deler van $a$ en $b$ deelt ook elke lineaire combinatie ( $ra+sb$ ) van $a$ en $b$ .
Er zijn oneindig veel priemgetallen.
Als $p$ een priemgetal is dat $a.b$ deelt, dan deelt $p$ ofwel $a$ ofwel $b$ .

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Getaltheorie

Hoofdstelling van de rekenkunde

Delers en priemgetallen