De entier-functie

Geplaatst op 22 april 2017 door admin

Het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan het reële getal x heet de entier ( frans voor ‘ geheel’) van x. Notatie: $\lfloor x\rfloor$ . Deze notatie werd voor het eerst gebruikt door C.F.Gauss in 1808. Soms wordt ook de notatie $G(x)$ gebruikt.

Zo is $\lfloor 7,43 \rfloor = 7$ , $\lfloor -\pi \rfloor =-4$ en $\lfloor 2017 \rfloor =2017$ .

Een paar eigenschappen:

$\lfloor x \rfloor = \text{ max } \{ m \in \mathbb{Z} : m \leq x \}$ .
$\lfloor x \rfloor = m \Leftrightarrow x-1 < m \leq x \Leftrightarrow m \leq x <m+1$ .
Voor elk natuurlijk getal $n$ geldt : $\lfloor x+n \rfloor =\lfloor x \rfloor +n$ .
$\lfloor x \rfloor +\lfloor y \rfloor \leq \lfloor x+y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor+\lfloor y \rfloor+1$ .
Voor $m \in \mathbb{N}$ en $n \in \mathbb{Z}$ geldt: $n= \lfloor \frac{n}{m} \rfloor+\lfloor \frac{n+1}{m} \rfloor+\cdots +\lfloor \frac{n+m-1}{m} \rfloor$ .
Voor $m \in \mathbb{N}$ geldt: $\lfloor mx \rfloor=\lfloor x \rfloor+\lfloor x +\frac{1}{m}\rfloor+\cdots+\lfloor x+\frac{m-1}{m} \rfloor$ .

Soms definieert men ook volgende functies:

Het kleinste geheel getal groter dan of gelijk aan $x$ als $\lceil x \rceil$ .
Het breukdeel van $x$ als $\{x\}=x-\lfloor x \rfloor$ . Het breukdeel wordt dikwijls bekeken als het deel na de komma, maar dat is slechts correct voor positieve getallen.

Stelling van Dirichlet voor rekenkundige rijen

Geplaatst op 11 maart 2017 door admin

De Stelling van Dirichlet over rekenkundige rijen, ook bekend onder de naam Priemgetallenstelling van Dirichlet (Duits wiskundige, 1805-1859), is een stelling uit de getaltheorie die handelt over het voorkomen van priemgetallen in rekenkundige rijen.

De stelling luidt dat, als a en b onderling ondeelbaar zijn, dus hun grootste gemene deler gelijk is aan 1, de rij

a,\ a+b,\ a+2b,\ a+3b,\ a+4b,\ \dots

oneindig veel priemgetallen bevat.

De stelling is een veralgemening van een bewering door Euler dat elke rekenkundige rij die met 1 begint oneindig veel priemgetallen bevat. De huidige vorm werd geformuleerd door Legendre en in 1837 bewezen door Johann Dirichlet.

De wiskundewereld heeft zich eigenlijk altijd al beziggehouden met het zoeken naar formules van rijen die oneindig veel priemgetallen bevatten.

Absolute waarde

Geplaatst op 17 januari 2017 door admin

We geven eerst de definitie : $\forall a \in \mathbb{R}^+: |a| =a$ en $\forall a \in \mathbb{R}^-: |a| =-a$ . Uit deze definitie leid je onmiddellijk af dat $|a| =0 \Leftrightarrow a =0$ en $|a|=|-a|$ .

Andere eigenschappen:

$\forall a \in \mathbb{R}: -|a| \leq a \leq |a|$
$\forall a,b \in \mathbb{R}: |a.b|=|a|.|b|$
$\forall a,b \in \mathbb{R}:|\dfrac{a}{b}|=\dfrac{|a|}{|b|}$
$\forall x \in \mathbb{R},\forall a \in \mathbb{R}^+:|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$
$\forall a,b \in \mathbb{R}:|a+b| \leq |a|+|b|$ (driehoeksongelijkheid)
$\forall a,b\in \mathbb{R}:|a|-|b| \leq |a+b|$
$\forall a,b\in \mathbb{R}:||a|-|b| |\leq |a-b|$

De grafiek van de functie $f(x)=|x|$ wordt gegeven door:

Modulorekenen

Geplaatst op 12 oktober 2016 door admin

De eindige rekenkunde, ook wel modulaire rekenkunde genoemd, wordt beschreven in het boek Disquisitiones Arithmeticae van Gauss, een buitengewoon invloedrijk werk uit 1801, toen de auteur nog maar vierentwintig jaar oud was.

Stel $a,b,m \in \mathbb{Z},m>1$ . Indien $a$ en $b$ bij deling door $m$ dezelfde rest geven, d.w.z. indien $a-b=cm$ voor zekere $c \in \mathbb{Z}$ , heten $a$ en $b$ congruent modulo $m$ . We noteren $a\equiv b$ mod m.Zo is bijvoorbeeld $3\equiv 63$ mod 5, $7\equiv -1$ mod 8 en $12^2\equiv 1$ mod 13.

Enkele eigenschappen :

Als $a\equiv b$ mod m en $b\equiv c$ mod m, dan is $a\equiv c$ mod m.
Als $a\equiv b$ mod m en $c\equiv d$ mod m, dan is $a+c\equiv b+d$ mod m.
Als $a\equiv b$ mod m en $n \in \mathbb{N}$ , dan is $a^n\equiv b^n$ mod m.
Als $a\equiv b$ mod m dan is voor elke $c \in \mathbb{Z}$ : $ac\equiv bc$ mod m.
Als $a\equiv b$ mod m en $c\equiv d$ mod m, dan is $ac\equiv bd$ mod m.

Rekenen met congruenties lijkt erg op het rekenen met vergelijkingen. Er is echter een belangrijk verschil: uit $ac\equiv bc$ mod m met $c\neq 0$ mod m hoeft niet te volgen dat $a\equiv b$ mod m. Zo is $6.12\equiv 6.7$ mod 10 maar 12 is niet congruent met 7 modulo 10. In andere gevallen gaat het wel op. De voorwaarde waarop de vereenvoudiging met $c$ wel kan, is dat $c$ onderling ondeelbaar is met $m$ .
Dus als $ac\equiv bc$ mod m en ggd(c,m) = 1, dan is $a\equiv b$ mod m.
Als ggd(c,m) = d, dan volgt uit $ac\equiv bc$ mod m dat $a\equiv b$ mod( $\frac{m}{d}$ ).

Rekent men modulo $m$ , dan zijn er $m$ verschillende soorten getallen, al naar gelang ze verschillende resten geven bij deling door $m$ . De verzameling van alle gehele getallen die eenzelfde rest geven heet een restklasse modulo $m$ . Er zijn dus precies $m$ verschillende restklassen modulo $m$ . De restklasse die een getal $a$ bevat, noteert men als $\overline{a}$ . Deze notatie is natuurlijk niet eenduidig bepaald, want als $a\equiv b$ mod m, stellen $\overline{a}$ en $\overline{b}$ dezelfde restklasse modulo $m$ voor en omgekeerd.

Werken we modulo 4 dan is $\overline{0}=\left\{0,4,8,12,\cdots}\right\}$ , $\overline{1}=\left\{1,5,9,13,\cdots\right\}$ , $\overline{2}=\left\{2,6,10,14,\cdots\right\}$ , $\overline{3}=\left\{3,7,11,15,\cdots\right\}$ .

Men kan in de verzameling restklassen modulo $m$ , genoteerd door $\mathbb{Z}_m$ , een optelling en een vermenigvuldiging defini\”eren via $\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$ en $\overline{a}.\overline{b}=\overline{ab}$ . Deze rekenregels lijken erg op de regels van optelling en vermenigvuldiging van gehele getallen.

Eigenschappen :

$\forall \overline{a},\overline{b}\in \mathbb{Z}_m : \overline{a}+\overline{b}=\overline{b}+\overline{a}.$
$\forall \overline{a},\overline{b}\in \mathbb{Z}_m : \overline{a}.\overline{b}=\overline{b}.\overline{a}.$
$\forall \overline{a},\overline{b},\overline{c}\in \mathbb{Z}_m : (\overline{a}+\overline{b})+\overline{c}=\overline{a}+(\overline{b}+\overline{c})$ .
$\forall \overline{a},\overline{b},\overline{c}\in \mathbb{Z}_m : (\overline{a}.\overline{b}).\overline{c}=\overline{a}.(\overline{b}.\overline{c})$ .
$\forall \overline{a},\overline{b},\overline{c}\in \mathbb{Z}_m : \overline{a}.(\overline{b}+\overline{c})=\overline{a}.\overline{b}+\overline{a}.\overline{c}$ .
$\forall \overline{a}\in \mathbb{Z}_m : \overline{a}+\overline{0}=\overline{a}.$
$\forall \overline{a}\in \mathbb{Z}_m : \overline{a}.\overline{1}=\overline{a}.$
Er is een unieke restklasse $\overline{x}$ met $\overline{a}+\overline{x}=\overline{0}$ , namelijk $\overline{x}=\overline{-a}$ .

Veronderstel dat we de rest willen bepalen van $73\times52$ bij deling door 7. Omdat $73 \equiv 3$ mod 7 en $52 \equiv 3$ mod 7, moet $73\times52 \equiv 3\times 3$ mod 7 $\equiv 9$ mod 7 $\equiv 2$ mod 7. Dus de rest bij deling van $73\times52$ door 7 is 2. We moeten daarvoor het product niet uitrekenen.

GGD en KGV

Geplaatst op 4 februari 2016 door admin

Gegeven zijn 2 natuurlijke getallen $a$ en $b$ . Het grootste natuurlijk getal dat zowel een deler is van $a$ als van $b$ heet de grootste gemene deler van $a$ en $b$ . Notatie : ggd[a,b). Het kleinste getal dat zowel een veelvoud is van $a$ als van $b$ , heet het kleinste gemene veelvoud van $a$ en $b$ . Notatie : kgv(a,b).

Men kan de grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud van 2 getallen bepalen door beide getallen te ontbinden in priemfactoren. Vooral bij grotere getallen kan dit een omvangrijk werk zijn. Er is een veel snellere methode. Deze berust op de eigenschap dat als $b=q.a+r$ , dan geldt er dat ggd (a,b) = ggd(a,r). Elke deler van $a$ en $b$ is immers ook een deler van $r=b-q.a$ en omgekeerd elke deler van $a$ en $r$ is ook een deler van $b$ . Deze werkwijze noemt men het algoritme van Euclides.

We berekenen de ggd van 1970 en 1066 op twee manieren:

1970 = 2.5.197 en 1066 = 2.13.41, dus is ggd(1970,1066)=2
1970 = 1.1066 + 904 ; 1066=1.904+162 ; 904=5.162+94 ; 162=1.94+68 ; 94=1.68+26 ; 68=2.26+16 ; 26=1.16+10 ; 16=1.10+6 ; 10=1.6+4 ; 6=1.4+2 ; 4=2.2. Dus is ggd(1970,1066)=ggd(1066,904)=ggd(904,162)=ggd(162,94)=ggd(94,68) = ggd(68,26)=ggd(26,16)=ggd(16,10)=ggd(10,6)=ggd(6,4)=ggd(4,2)=2

Via dit algoritme kan men ( zoals hieronder in de stelling van Bezout vermeld wordt) de grootste gemene deler van 2 getallen schrijven als een lineaire combinatie van die twee getallen.
ggd(1970,1066)= 2= 6 – 4 = 6 – (10 – 6) = 2.6 – 10 = 2.(16 – 10) – 10 = 2.16 – 3.10 = $\ldots$ = 377.1066 – 204.1970.

Enkele eigenschappen

Elke gemeenschappelijke deler van $a$ en $b$ is ook een deler van ggd(a,b)
Elk gemeenschappelijk veelvoud van $a$ en $b$ is ook een veelvoud van kgv(a,b).
ggd(a,b).kgv(a,b)=a.b
Als $n$ een deler is van $a.b$ en als ggd(n,a) = 1 dan moet $n$ een deler zijn van $b$ .
Als ggd(a,b)=d dan geldt : ggd( $\frac{a}{d},\frac{b}{d}$ )=1
ggd(a,b) = ggd(b,a – qb)
De grootste gemene deler van 2 getallen is een lineaire combinatie van die twee getallen ( stelling van Bezout ).

Wiskunde is leuk

Categorie archieven: Getaltheorie

De entier-functie

Stelling van Dirichlet voor rekenkundige rijen

Absolute waarde

Modulorekenen

GGD en KGV