Categorie archieven: Getaltheorie

Product van de delers van een getal

Geplaatst op door

Noteer met i het aantal delers van een gegeven natuurlijk getal n, dat verschilt van 0. Kan je dan een formule vinden voor het product van al de delers van n?

Stel del(n) = \{d_1,d_2,\cdots,d_i\}  en noteer met P(n) het product van alle delers . Dan is P(n) = d_1*d_2*\cdots*d_i=d_i*\cdots*d_2*d_1. Vermenigvuldigen we deze twee uitdrukkingen met elkaar : P(n)^2=n^i , dan vinden we

    \[P(n)=\sqrt{n^i}\]

Enkele voorbeelden:

  • del(7) = (1,7} , dus P(7)=\sqrt{7^2}=7 en 1*7=7
  • del(9) = (1,3,9} , dus P(9)=\sqrt{9^3}=27 en 1*3*9=27.
  • del(12) = (1,2,3,4,6,12} , dus P(12)=\sqrt{12^6}=1728 en 1*2*3*4*6*12=1728.

Op welk cijfer eindigt…

Geplaatst op door

Wat is de rest bij deling door 10 van het 2022ste getal in de rij  

    \[3,3^3,3^{3^3},...\]

  • De gegeven rij kan ook gegeven worden door middel van een recursief voorschrift: t_1=3 en t_{n+1}=3^{t_n}.

  • Berekenen we een paar termen van de rij: 3 , 27 , 7625597484987. We zien dat ze zeer snel toenemen in grootte, maar we hebben wel al 2 keer een 7 achteraan. Zou dat een patroon zijn?

  • Elke term is een viervoud plus 3, want t_n=(4 voud -1)^{t_{n-1}} en omdat elke term in de rij oneven is is t_n dus een 4voud min 1, of met anders geformuleerd : een drievoud plus 3.

  • Dan is t_{n+1}=3^{4v+3}=3^3.3^{4v}=27.81^v.
  • Werken we nu modulo 10: t_{n+1}\equiv 7.1^v\equiv 7.
  • Dus elke term van de rij eindigt op 7, dus ook de 2022ste term.

De klok

Geplaatst op door

Kunnen de drie wijzers van een uurwerk onderling twee aan twee hoeken van 120 graden vormen?

  • Noteer het tijdstip als x. Dit is een reëel getal. De kleine wijzer staat dan op 30x mod 360. graden, want na 1 uur heeft deze wijzer 30 graden afgelegd. De grote wijzer staat dan op 360x mod 360 graden, vermits er 60 minuten in een uur zijn. Omdat er 60 seconden in een minuut zijn , zal tenslotte de secondewijzer op 21600x mod 360 graden staan.
  • Het vraagstuk herleidt zich tot een volgend stelsel (telkens mod 360 genomen):

        \[30x-360x=120\]

        \[360x-21600x=120\]

        \[21600x-30x=120\]

  • Het kan ook het volgende  stelsel geven:

        \[360x - 30x=120\]

        \[21600x-360x=120\]

        \[30x-21600x=120\]

  • We bespreken enkel het eerste stelsel; het tweede geval verloopt analoog.
  • Na vereenvoudiging krijgen we :

        \[x=\frac{4}{11}(\mod \frac{12}{11})\]

        \[x=\frac{1}{177}(\mod \frac{3}{177})\]

        \[x=\frac{8}{719}(\mod \frac{12}{719})\]

  • Dus

        \[x=\frac{4}{11}(1+3k)=\frac{1}{177}(1+3l)=\frac{4}{719}(2+3m)\]

  • Maar dan moet  

        \[4.177.719(1+3k)=11.719(1+3l)\]

  • Dis  is onmogelijk want het eerste lid is een drievoud en het tweede niet!
  • De drie wijzers kunnen dus nooit twee aan twee een hoek van 120 graden vormen.

Priemtweelingen

Geplaatst op door

Een paar opeenvolgende priemgetallen waarvan de afstand 2 is, noemen we een priemtweelingen. Buiten de eerste priemtweelingen 3-5 vinden we bijvoorbeeld ook 5-7, 11-13, 17-19,… Ze ontstaan allemaal (behalve 3-5), door vertrekkend van 5-7, een translatie uit te voeren over 6 eenheden. Dit is logisch want een priemgetal is altijd van de vorm 6k+1 of 6k-1. 

Een Python programma om alle priemtweelingen kleiner dan 1000 te bepalen:
De output:

Een paar ‘leuke ‘ eigenschappen, die zeer eenvoudig te bewijzen zijn:

  • Een priemtweelingen heeft een symmetriemidden dat steeds een 6-voud is.
  • De som van twee elementen van een priemtweelingen is steeds een 12-voud.
  • De afstand voor de overeenkomstige elementen van twee priemtweelingen is steeds een 6-voud.
  • De afstand van het grootste getal van de kleinste priemtweeling tot het kleinste getal van de grootste priemtweelingen is een 6-voud min 1.
  • Er bestaat geen grootste priemtweeling.

                                  

Rationale getallen

Geplaatst op door

Is het juist dat, indien x^7 en x^{12} rationaal zijn, x eveneens rationaal is?

We weten dat de vermenigvuldiging en de delig door een getal, verschillend van 0, inwendige bewerkingen zijn in \mathbb{Q}.  Dus als x^{12} en x^7 rationaal zijn, dan is hun quotiënt x^5 dat ook . Maar dan is het quotiënt van x^7 en x^5, en dat is x^2, ook een rationaal getal. Als x^2 rationaal is, dan ook (x^2)^3=x^6. Tenslotte volgt uit het feit dat x^6 en x^5 allebei rationaal zijn dat hun quotiënt x dat ook is.Het antwoord op de gestelde vraag is dus bevestigend.

We kunnen dit ook anders oplossen: We zoeken eigenlijk twee getallen a en b zodat (x^{12})^a:(x^7)^b=x, waarbij a en b gehele getallen zijn. Maar dan moet

    \[12a-7b=1\]

Dit is een Diophantische vergelijking en omdat de grootste gemene deler van 12 en 7 gelijk is aan 1, heeft deze vergelijking oneindig veel oplossingen. De meest eenvoudige is a=3 en b=5. Dit geeft ons in één keer ook de mogelijkheid het probleem te veralgemenen. Als we in de opgave werken met bijvoorbeeld x^9 en x^{12}, dan klopt het niet meer: de Diophantische vergelijking 12a-9b=1 heeft immers geen oplossingen omdat de grootste gemene deler van a en b gelijk is aan 3.