Categorie archieven: Getaltheorie

Het probleem van Bazel

Geplaatst op door

Het probleem van Bazel is een beroemd probleem uit de staltheorie. Het werd voor het eerst in 1644 aan de orde gesteld door Pietro Mengoli (1626-1686), en werd bijna 100 jaar later, in 1735, opgelost door Euler.

Het probleem vraagt:

Deze reeks is bij benadering gelijk aan 1,644934.  Euler slaagde erin de exacte uitkomst te geven:

Het probleem heeft geleid tot nieuwe inzichten in de structuur van de reële getallen en de complexe getallen, en heeft bijgedragen tot de ontwikkeling van de analytische getaltheorie.

De Riemann-zeta functie \zeta is een belangrijke functie in de wiskunde vanwege het verband met de verdeling van de priemgetallen. De bovenstaande reeks is niets minder dan \zeta(2). Het omgekeerde getal  \frac{6}{\pi^2} is de kans dat twee willekeurige gehele getallen onderling ondeelbaar zijn.

De constante van Brun

Geplaatst op door

Vrij veel priemgetallen zijn twee opeenvolgende oneven getallen, zoals 3 en 5 of 17 en 19. Of er oneindig veel zulke paren, priemtweelingen genoemd, zijn is niet bewezen .

In 1919 bewees de Noorse wiskundige Viggo Brun( 1885-1978) volgende eigenschap:de som van de omgekeerde waarden van de priemtweelingen nadert tot een bepaalde waarde, die nu de constante van Brun wordt benoemd.

  • Het is merkwaardig dat deze som begrensd is terwijl de som van de omgekeerden van alle priemgetallen oneindig groot is. Dit laat vermoeden dat het priemtweelingen eerder schaars zijn.
  • Het is onbekend of de constante van Brun een irrationaal getal is. Dit hangt ervan af of het aantal priemtweelingen eindig of oneindig is.

  • Een schatting van Pascal Sebah en Patrick Dechimel in 2002 die alle priemtweelingen tot 1016 gebruikt komt op B  ≈ 1,902160583104.

Product van de delers van een getal

Geplaatst op door

Noteer met i het aantal delers van een gegeven natuurlijk getal n, dat verschilt van 0. Kan je dan een formule vinden voor het product van al de delers van n?

Stel del(n) = \{d_1,d_2,\cdots,d_i\}  en noteer met P(n) het product van alle delers . Dan is P(n) = d_1*d_2*\cdots*d_i=d_i*\cdots*d_2*d_1. Vermenigvuldigen we deze twee uitdrukkingen met elkaar : P(n)^2=n^i , dan vinden we

    \[P(n)=\sqrt{n^i}\]

Enkele voorbeelden:

  • del(7) = (1,7} , dus P(7)=\sqrt{7^2}=7 en 1*7=7
  • del(9) = (1,3,9} , dus P(9)=\sqrt{9^3}=27 en 1*3*9=27.
  • del(12) = (1,2,3,4,6,12} , dus P(12)=\sqrt{12^6}=1728 en 1*2*3*4*6*12=1728.

Op welk cijfer eindigt…

Geplaatst op door

Wat is de rest bij deling door 10 van het 2022ste getal in de rij  

    \[3,3^3,3^{3^3},...\]

  • De gegeven rij kan ook gegeven worden door middel van een recursief voorschrift: t_1=3 en t_{n+1}=3^{t_n}.

  • Berekenen we een paar termen van de rij: 3 , 27 , 7625597484987. We zien dat ze zeer snel toenemen in grootte, maar we hebben wel al 2 keer een 7 achteraan. Zou dat een patroon zijn?

  • Elke term is een viervoud plus 3, want t_n=(4 voud -1)^{t_{n-1}} en omdat elke term in de rij oneven is is t_n dus een 4voud min 1, of met anders geformuleerd : een drievoud plus 3.

  • Dan is t_{n+1}=3^{4v+3}=3^3.3^{4v}=27.81^v.
  • Werken we nu modulo 10: t_{n+1}\equiv 7.1^v\equiv 7.
  • Dus elke term van de rij eindigt op 7, dus ook de 2022ste term.

De klok

Geplaatst op door

Kunnen de drie wijzers van een uurwerk onderling twee aan twee hoeken van 120 graden vormen?

  • Noteer het tijdstip als x. Dit is een reëel getal. De kleine wijzer staat dan op 30x mod 360. graden, want na 1 uur heeft deze wijzer 30 graden afgelegd. De grote wijzer staat dan op 360x mod 360 graden, vermits er 60 minuten in een uur zijn. Omdat er 60 seconden in een minuut zijn , zal tenslotte de secondewijzer op 21600x mod 360 graden staan.
  • Het vraagstuk herleidt zich tot een volgend stelsel (telkens mod 360 genomen):

        \[30x-360x=120\]

        \[360x-21600x=120\]

        \[21600x-30x=120\]

  • Het kan ook het volgende  stelsel geven:

        \[360x - 30x=120\]

        \[21600x-360x=120\]

        \[30x-21600x=120\]

  • We bespreken enkel het eerste stelsel; het tweede geval verloopt analoog.
  • Na vereenvoudiging krijgen we :

        \[x=\frac{4}{11}(\mod \frac{12}{11})\]

        \[x=\frac{1}{177}(\mod \frac{3}{177})\]

        \[x=\frac{8}{719}(\mod \frac{12}{719})\]

  • Dus

        \[x=\frac{4}{11}(1+3k)=\frac{1}{177}(1+3l)=\frac{4}{719}(2+3m)\]

  • Maar dan moet  

        \[4.177.719(1+3k)=11.719(1+3l)\]

  • Dis  is onmogelijk want het eerste lid is een drievoud en het tweede niet!
  • De drie wijzers kunnen dus nooit twee aan twee een hoek van 120 graden vormen.