Categorie archieven: Geschiedenis

Een korte geschiedenis van pi

Geplaatst op door

Pi is de verhouding tussen de omtrek en de middellijn van een cirkel:

    \[\pi=\dfrac{\text{omtrek}}{\text{middellijn}}\]

Dit leidt tot de misvatting dat pi een rationaal getal is, want het kan geschreven worden als een breuk! We vergeten hierbij dat, in een breuk, felle en noemer gehele getallen moeten zijn. Maar bij pi is hetzij de omtrek , hetzij de diameter irrationaal. 

Het idee van pi als constante bestaat al lang. De Egyptenaren schatten het op \frac{25}{8}=3,125 en de Mesopotamiërs gaven het de waarde van \sqrt{10}\approx 3,162.

Archimedes was de eerste die pi grondig onderzocht. Door veelhoeken in een cirkel te  tekenen en hun omtrek te berekenen, kon hij pi schatten tussen \frac{223}{71} en \frac{22}{7}. sinds Archimedes is de nauwkeurigheid van pi groter geworden. Dank zij de computer kennen we nu pi tot op miljarden cijfers nauwkeurig.

Een paar schattingen door de eeuwen heen:

  • papyrus Rhind ( 1650 BC) :  3,16045
  • Archimedes (250 BC) : 3,1418
  • Ptolemaeus (150 AD) 3,14166
  • Brahmagupta (640 AD): 3,1622   
  • Al-Khwarizmi (800 AD) : 3,1416
  • Fibonacci (1220 AD) : 3,141818

Het symbool \pi, voor pi werd in 1706 geïntroduceerd door William Jones in zijn boek Synopsis Palmariorum Mathesis. 

Pi kan ook voorgesteld worden door een reeks . De veertiende eeuws Indiase wiskundige Madhava gebruikte de volgende reeks :

    \[\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\cdots\]

Dit convergeert eerder traag naar pi. Euler gebruikte de reeks :

    \[\frac{\pi^2}{6}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}\cdots\]

De Engelse wiskunde Wallis maakte gebruik van:

    \[\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1}*\frac{2}{3}*\frac{4}{3}*\frac{4}{5}*\frac{6}{5}\cdots\]

 

Wat is algebra?

Geplaatst op door

Het woord ‘algebra’ komt uit een werk van Al-Khwarizimi dat Hisab Al-Jabr w’Al-Muqabala heet en waarbij Al-Jabr algebra werd.

Als we het over algebra hebben, dan bedoelen we hier de algebra die op de middelbare scholen wordt gegeven: de algebra die rekenkundige bewerkingen uitvoert op getallen en variabelen, oftewel dingen die er uit zien als 5x^2+x=2.

De algebra is echter niet in die vorm ontstaan.

  • De eerste ontwikkelingsfase was de retorische algebra. Men maakt gebruik van volledige zinnen. Dit deed men tot de derde eeuw. 5x^2+x=22 zou dan worden gegeven als  vijf keer het vierkant van een hoeveelheid ,vermeerderd met de hoeveelheid is 22. De retorische notaties ontwikkelden zich rond 2000 v. chr.
  • Een tweede fase was de gesyncopeerde algebra (beschrijvingen vermengd met afkortingen en wiskundige symbolen) zoals in de werken van Diophantus en Brahmagupta. Dit was al een verbetering maar het vergde toch nog veel extra werk in vergelijking wat later kwam. Deze fase ontwikkelde zich rond 250 na chr.
  • De laatste fase is de symbolische algebra. Deze kwam tot stand rond 1600 en kwam vooral tot bloei in het werk van Descartes.

Daarnaast doorliep de algebra ook verschillende soorten van abstractie:

  • Meetkundig stadium  waar de begrippen van algebra zijn grotendeels geometrische . Dit dateert uit de  tijd van de Babyloniërs en werd voortgezet met de Grieken.
  • Statische fase , waarbij het doel is om getallen te vinden  die aan bepaalde relaties voldoen. 
  • Dynamische stadium , waarin  beweging de achterliggende gedachte was: het idee van een functie 
  • Abstract stadium , waar de wiskundige structuur speelt een centrale rol. Abstract algebra is grotendeels een product van de 19e en 20e eeuw.

6. Wiskunde in het oude Indie

Geplaatst op door

 

De eerste belangrijke beschaving in het Indus gebied was de Harappa-beschaving rond 2000 voor Christus

Het Vedische volk kwam India rond 1500 voor Christus binnen vanuit wat nu  Iran is.  In deze Vedische beschaving was de bevolking verdeeld in verschillende sociale klassen. de leiding berustte bij de priesterklasse, de Brahmanen. Hun heilige teksten staan bekend staan ​​als de Veda’s. De teksten dateren van ongeveer de 15e tot de 5e eeuw voor Christus en werden gebruikt voor offerrituelen die het belangrijkste kenmerk van de religie waren. De belangrijkste van deze documenten zijn de Baudhayana Sulbasutra geschreven rond 800 voor Christus en de Apastamba Sulbasutra geschreven rond 600 voor Christus. Minder gekend zijn de Manava Sulbasutra geschreven rond 750 voor Christus en de Katyayana Sulbasutra geschreven rond 200 voor Christus.

De Sulbasutra’s zijn bijlagen bij de Veda’s die regels geven voor het bouwen van altaren. Als het rituele offer succesvol zou zijn, moest het altaar zich  zeer precieze afmetingen hebben. Om de goden tevreden te stellen, moest alles met een zeer precieze formule worden uitgevoerd, dus werd wiskundige nauwkeurigheid van het grootste belang geacht. 

Alles wat bekend is van Vedische wiskunde is vervat in de Sulbasutras. Sommige historici beweren dat de wiskunde, meer speciaal de meetkunde, ook moet hebben bestaan ​​als ondersteuning van de astronomie.

Een paar voorbeelden van hun meetkundige kennis:

  • Een vierkant dat de som is van twee andere vierkanten
  • De diagonaal van een vierkant geeft een vierkant van dubbele oppervlakte.
  • Een vierkant dat gelijk is aan een cirkel (komt overeen met een waarde voor pi van ongeveer 3,00444)
  • De som van de oppervlakten van vierkanten van de lengte en breedte van een rechthoek geeft het vierkant van de diagonaal van de rechthoek.
  • Vermeerder de eenheid met een derde en dit derde met zijn vierde en verminder dat met het 34ste deel van dat vierde. zo bekom je een benadering voor de vierkantswortel van 2: 1,414215

De Sulbasutra’s bevatten geen enkel bewijs van de regels die ze beschrijven. Sommige regels, zoals de methode om een ​​vierkant te construeren dat gelijk is aan een bepaalde rechthoek, zijn exact. Anderen, zoals het construeren van een vierkant gelijk aan dat van een bepaalde cirkel, zijn benaderingen. 

 

 

5. Wiskunde in het oude China

Geplaatst op door

Rond 1500 voor Christus  raakten de eerste cijfers in gebruik. De chinezen hadden karakters voor 1,2,3,… alsmede voor 10,100,1000,… Voor de nul gebruikten ze een spatie. Optellen en aftrekken gebeurde met telstokjes, gemaakt van bamboe. Voor vermenigvuldigen gebruikten ze tabellen  tot 9 maal 9.

Rond 200 voor Christus werden nagenoeg alle bestaande boeken verbrand, zodat we over de wiskunde van voor die tijd geen documenten hadden. Bij opgravingen rond 1900 werden toch wat documenten gevonden die samengesteld werden na de boekverbranding en die kunnen beschouwd worden als compilaties van de wiskundige kennis uit het verleden. De twee belangrijkste zijn :

  • Zhou Bi Suan-Jing ( de wiskundige klassieker van de gnomon en het cirkelvormig hemelpad): het behandelt ruim 250 astronomische en wiskundige problemen onder de vorm van gesprekken tussen een Chinese edelman en zijn astroloog. Het bevat één van de vroegste bewijzen van de stelling van Pythagoras.
  • Jiuzhang Suansu ( de negen afdelingen van mathematische kunst) :hier werden voor het eerst zowel positieve als negatieve getallen gebruikt. Er werd ook veel aandacht besteed aan magische vierkanten. De behandelde problemen zijn van praktische aard en men stelt zich meestal tevreden met het beschrijven van procedures, waarbij deductieve bewijzen ontbreken.

Niet-Euclidische meetkunde

Geplaatst op door

 

De meetkunde, die we dagelijks gebruiken, wordt Euclidische meetkunde genoemd, ter ere van Euclides, die tussen 330 en 320 voor Christus een aantal boeken, genaamd „Elementen” geschreven heeft.

Hierin wordt  de meetkunde opgebouwd met stellingen vertrekkend van een vijftal postulaten of axioma’s: 
1. Door 2 verschillende punten gaat juist 1 rechte.
2. Een lijnstuk kan naar beide kanten onbeperkt worden
    verlengd.
3. Er kan met elk middelpunt en elke straal een cirkel
    getrokken worden.
4. Alle rechte hoeken zijn gelijk.
5. Door een punt P buiten een rechte , gaat precies één rechte
    die evenwijdig loopt met  de eerste rechte.

Dit laatste axioma staat bekend als het parallellenpostulaat.
Eeuwen heeft men gedacht dat men dit postulaat kon bewijzen aan de hand van de andere vier axioma’s. Trouwens de formulering van het parallellenpostulaat was oorspronkelijk anders.  De gegeven formulering komt van John Playfair. Deze formulering stamt uit 1795 en staat bekend als “Playfair’s axioma” . Een andere gelijkwaardige formulering van dit postulaat is dat de hoekensom van een driehoek gelijk is aan 180°.

Het duurde tot de 19 de eeuw voor het juist inzicht er kwam en wel bij 3 wiskundigen ongeveer gelijktijdig en waarschijnlijk onafhankelijk van elkaar: C.F.Gauss, J.Bolyai en I.Lobatschefsky.

Het was Joha,, Bolyai die tot het inzicht kwam dat het mogelijk was een meetkunde op te stellen, waarin door een punt buiten een rechte oneindig veel rechten gaan die de gegeven rechte niet snijden. Hij publiceerde zijn ideeën in 1832 en gaf zo gestalte aan de hyperbolische meetkunde. De som van de hoeken van een driehoek is hier minder dan 180°.  In de hyperbolische meetkunde wordt dus niet meer aan het parallellenpostulaat voldaan. 
Later werd ook de elliptische meetkunde ontdekt. Elliptische meetkunde is een niet-Euclidische meetkunde, waarbij door een punt buiten een rechte  geen andere rechten bestaat die de gegeven rechte niet snijdt.

De gewone meetkunde is dus niet de meetkunde, maar een  meetkunde. Met andere axioma’s krijgen we een ander soort meetkunde.